11 Калибровка потенциалов

Лекция № 11

Калибровка потенциалов.

1. Векторный и скалярный потенциалы

Общие уравнения Максвелла для среды.

rotH = j+ D

t

rotE = - B

t

divD = divB = 0

D = 0E,

B = 0H, (2) j = (E+Eстор).

Уравнения (1) и (2) справедливы при следующих условиях:

1)все материальные тела, находящиеся в поле, неподвижны;

2)величины , , , характеризующие материальные свойства среды, не зависят от времени (стационарность) и от векторов поля (линейность);

3)в поле отсутствуют ферромагнитные вещества.

Несмотря на учет тока смещения (в отличие от квазистационарного приближения), связь напряженностей полей с потенциалами остается неизменной, а именно

E=-grad	A	, B = rotA.	(3)
	t

Выведем дифференциальные уравнения для векторного и скалярного потенциалов.

Уравнение для векторного потенциала.

Будем рассматривать однородную среду ( =const, =const). Подставляя в уравнение

Максвелла rotВ = oj + o o E выражения (3), получим

t

rotrotA oj o o		(-grad -	A	)
	t
или			t

graddivA - 2A oj grad( o o				)- o o	2A		.
Окончательно уравнение принимает вид			t		t2
	2A
2A - o o		- oj grad(divA o o						) .	(4)
	t2					t

Уравнение для скалярного потенциала

В уравнение Максвелла divD = подставляем выражение для Е из (3). В результате для однородной среды получаем

div(-grad - A)t o

или

2		divA -		.	(5)
	t		o

Калибровка потенциалов

2

________________________________________________________________________________

2. Неоднозначность потенциалов, калибровочные преобразования

Формулы (3) не позволяют однозначно ввести потенциалы, исходя из заданных векторов Е и В. Пусть = (r,t) – некоторая произвольная непрерывная функция координат и времени, а и А – потенциалы, описывающие по формулам (3) некоторое электромагнитное поле Е и В. Оказывается, что потенциалы

A' = A + grad , ' = - / t (6)

определяют то же самое поле Е и В. Для доказательства найдем электромагнитное поле Е' и

В', соответствующее потенциалам А' и ' из (6):
В' = rotA' = rot(A + grad ) = rotA + rotgrad = rotA = В
и аналогично			A
E' = -grad ' - A'/ t = - grad( - / t) -		(A + grad ) = -grad -		= E.
	t		t

Таким образом, потенциалы и А описывают то же самое электромагнитное поле, что и потенциалы ' и А', связанные с и А формулами (6) при произвольной функции . Преобразование (6) называется калибровочным или градиентным. Пользуясь неоднозначностью в выборе потенциалов, можно наложить на них определенные дополнительные условия. Наложение определенных условий на потенциалы называется калибровкой. Их вид подсказывается требованием максимального упрощения уравнений для потенциалов.

3. Лоренцевская калибровка

	Если в уравнении (4) положить равной нулю величину divA o o						0, то оно
	принимает вид					t
		2A
	2A - o o			- oj.		(7)
	Условие	t2
	divA o o				0	(8)
			t

и называется калибровкой Лоренца.

Получим теперь уравнение для скалярного потенциала, Для этого в уравнение (5)

2 divA -t o

подставим выражение для дивергенции из условия калибровки Лоренца divA - o o t

2 - o o	2	-		.	(9)
	t2
			o

Уравнения (7) и (9) приобретают одинаковый вид. В области, где нет объемных зарядов и токов проводимости

	2A - o o	2A	0
		t2

22

- o o t2 0.

Условие (8) в общем случае не инвариантно относительно калибровочных преобразований (6). Если некоторые потенциалы и А удовлетворяют условиям (4) и (5), то всегда найдется такая функция , с помощью которой калибровочные преобразования (6)

Калибровка потенциалов

3

________________________________________________________________________________

переводят эти уравнения в уравнения (7) и (9) для и А. Одновременно для ' и А' должны быть выполнены условия лоренцевской калибровки (8).

Подставляя (6) (A = A' - grad ,			= ' + / t) в (8) видим, что							2
divA o o			divA'- 2 0 0			'	0 0				0
	t									t2
						t
или								2
divA' 0 0				'	( 2 - 0 0				).		(10)
				t				t2

При произвольной функции правая часть выражения (10), вообще говоря, не равна нулю. Но если в качестве выбрать функцию, которая удовлетворяет волновому уравнению

	2 - 0 0	2	0,	(11)
		t2

то равенство (10) превращается в условие Лоренца.

Поэтому, если есть необходимость перейти с помощью калибровочных преобразований (6) от некоторых потенциалов и А, удовлетворяющих условию Лоренца, к другим потенциалам ' и А', также удовлетворяющих условию Лоренца, необходимо в качестве функции взять функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (11).

Ввакууме уравнения (7-9) могут быть записаны как

2A - 1 2A - oj. c2 2t

divA				1						0.
				c2
									t
	2	-	1 2								-
			c2				t2					o

4. Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка выражается условием
divA = 0	(12)

и является частным случаем лоренцевской калибровки, используемой при описании

динамических задач.
Уравнение для скалярного потенциала (5) принимает вид
2 -		,	(13)
	o

т.е. является уравнением Пуассона для скалярного потенциала, которое является дифференциальной формулировкой закона Кулона (отсюда и название).

Уравнение для векторного потенциала (4) при кулоновской калибровке принимает следующий вид

2A - o o	2A	- oj o	ograd		.	(14)
	t2
				t

Решение уравнения (13) нам известно

	(r,t) =	1		(r',t)dV'
							.	(15)
		4 0
					r-r'
			V

Дифференцируя обе части равенства (15) по t и пользуясь уравнением непрерывности (divj+

+= 0), получаем

t

r-r'

r-r'

Калибровка потенциалов

4

________________________________________________________________________________

(r,t)	= -	1		div'j(r'		,t)dV'		(16)
t		4 0 V			r -r'

где штрих у операции div' означает, что она производится по штрихованным координатам. Применяя правила действий с -функцией, запишем выражение для плотности тока следующим образом

j(r,t) j(r',t) (r-r')dV',

V

которое с учетом тождества (r-r')

1

2

1

принимает вид

r-r'

4

1

2

j(r',t)

j(r,t) -

dV'.

(17)

4

r-r'

V

Используя известное тождество rot(rota) = graddiva - 2 a, преобразуем эту формулу

к виду

j(r',t)

j(r',t)

j(r,t)

1

rotrot

dV' -

1

graddiv

dV' .

(18)

4

r-r'

r -r'

V

4

V

Сила тока в (18) представлена в виде суммы двух слагаемых. Дивергенция первого равна нулю из-за тождества divrotA=0, а ротор второго слагаемого также равен нулю из-за тождества rotgrad =0.

Представим j в виде

j j jII ,

где

j 1 rotrot j(r',t) dV' ,

4

V

jII - 1 graddiv j(r',t) dV' .

4

V

j - поперечная составляющая тока, jII - продольная составляющая тока. Причем

divj 0,

rotjII = 0.

Можно показать, что

div

j(r',t)

dV'

div'j(r'

,t)

dV .

r-r'

r-r'

V

V

(19)

(20)

(21)

(22)

Тогда для продольной составляющей тока получаем

jII

-

1

grad

div' j(r',t)

dV .

(23)

4

r-r'

V

Теперь возьмем градиент от обеих частей равенства (16)

grad

(r,t)

= -

1

grad

div' j(r',t)dV .

(24)

t

4 0

V

r-r'

Сравнивая (23) и (24) получим

jII

ograd

.

(25)

t

Уравнение (14) при этом принимает вид

Калибровка потенциалов

5

________________________________________________________________________________

2 2A

A - o o t2 - o j+ o jII = - o(j- jII )=- oj . (26)

Векторный потенциал определяется только «поперечным» током. Поэтому кулоновская калибровка называется также поперечной.

Кулоновская калибровка удобна при описании поля в областях, где отсутствуют токи и заряды. При этом можно полагать, что = 0 , а векторный потенциал удовлетворяет

однородному уравнению 2A - o o	2A	0.
	t2
Е и В выражаются через векторный потенциал формулами
	E -		A	,	B=rotA.	(27)
			t

5. Запаздывающие и опережающие потенциалы

Уравнения для скалярного и векторного потенциалов имеют одинаковый вид (7) и (9), они получены при условии выполнения калибровки Лоренца. Это существенно упрощает задачу расчета электромагнитного поля. Мы свели уравнения Максвелла к четырем однотипным уравнениям Даламбера.

В математической физике известно уравнение Даламбера

2 -	1		2		-f(x,y,z,t) .				(28)
	v2		t2
При f=0 получается однородное уравнение Даламбера – волновое (гиперболическое)
уравнение. При независимости функции от времени получаем уравнение Пуассона.
Известно, что решение неоднородного уравнения Даламбера (28) имеет вид
(x,y,z,t)				1			f(x',y',z',t R /v)	dV'.	(29)
				4
							R
						V

Наиболее существенным моментом в этой формуле является различное значение времени у функций и f. Формула (29) показывает, что значение функции в точке x,y,z в момент времени t зависит от значений функции f других точках x',y',z' не в тот же момент времени, а в другой.

Знак минус означает, что значение функции в момент времени t определяется значениями функции f в более ранний момент времени t-R/v, причем это запаздывание равно времени распространения сигнала, движущегося со скоростью v из точки x',y',z' в точку x,y,z. Такое решение называется решением в виде запаздывающих потенциалов.

Знак плюс означает, что значение функции в момент времени t определяется значениями функции f в более поздний момент времени t+R/v. Такое решение называется решением с запаздыванием (или решением в виде опережающих потенциалов) и используется значительно реже.

Итак, с использованием выражение (29) решения уравнений (7) и (9) могут быть записаны двояко.

В виде запаздывающих потенциалов

A(x,y,z,t)		o				j(x',y',z',t -R /v)		dV',
		4					R
	1			V			j(x',y',z',t -R /v)
(x,y,z,t)									dV'.
	4
							R
			o V

Скорость распространения электромагнитной волны

Калибровка потенциалов

6

________________________________________________________________________________

1						c
v =				=				.
		o o

Изменение свободных зарядов и токов проводимости в различных точках поля сказывается не мгновенно, а спустя некоторое время, необходимое для того, чтобы электромагнитная волна прошла расстояние R.

В виде опережающих потенциалов

A(x,y,z,t)		o				j(x',y',z',t R /v)		dV',
		4					R
	1			V			j(x',y',z',t R /v)
(x,y,z,t)									dV'.
	4
							R
			o V

На первый взгляд использование опережающих потенциалов противоречит принципу причинности (действие предшествует своей причине, вместо того, чтобы следовать за ней). Между тем уравнения электродинамики, подобно уравнениям механики, позволяют определить как будущее по прошлому и настоящему, так и прошлое по настоящему и будущему. В первом случае для определения поля нужно пользоваться запаздывающими потенциалами, во втором – опережающими.

В.Паули заметил по поводу опережающих волн: «Они удовлетворяют тем же самым дифференциальным уравнениям, но не столь легко реализуются в природе. В бесконечном пространстве природа явно отдает предпочтение первому семейству решений – запаздывающим волнам». В этих словах признание неполноты законов электродинамики. Карл Поппер1 подчеркивал, что мы никогда бы не поверили, что кинофильм, в котором концентрические волны сходятся в точке, откуда из воды выскакивает камень, описывает реальный процесс!

1 Поппер Карл Раймунд (1902-94) - философ, логик и социолог. Разработал концепцию критического рационализма, теорию роста научного знания.