- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
№ |
Вид модели |
|
1 |
Линейная |
22518,90 |
2 |
Параболическая |
20692,15 |
3 |
Кубическая |
17136,71 |
4 |
Гиперболическая |
22972,93 |
5 |
Показательная |
25415,03 |
6 |
Степенная |
24912,61 |
7 |
Логарифмическая |
22595,40 |
Как видно из последней таблицы, наименьшее отклонение наблюдается при кубической модели, поэтому можно считать, что она наиболее точно описывает зависимость между премиальным фондом и прибылью предприятий. Графически данная зависимость представлена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Зависимость между прибылью и премиальным фондом.
3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
Пусть в качестве аппроксиманта функции используется полином степени : . Для табличной функции, заданной конечным множеством точек , , …, , запишем условие аппроксимации:
. (3.21)
Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся необходимым условием экстремума функции :
(3.22)
Систему (3.22) несложно преобразовать к системе уравнений, линейных относительно неизвестных параметров :
(3.23)
Система (3.23) имеет единственное решение, так как определитель ее матрицы – определитель Вандермонда – отличен от нуля. Функция (3.21) – выпуклая, следовательно, выполнение условия (3.22) является необходимым и достаточным признаком минимума функции , которая имеет единственный экстремум.
3.3. Вопросы для самопроверки
Перечислите и объясните различия между методами приближения, интерполяции и аппроксимации функций.
Сформулируйте теорему Вейерштрасса, каково ее значение при приближении функций полиномами.
Поясните принцип разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.
Охарактеризуйте оценку погрешности разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.
Дайте определение полинома Чебышева, запишите и объясните требование оптимальности в задаче о наилучшем приближении.
Запишите рекуррентное соотношение для вычисления многочленов Чебышева, приведите пример нескольких первых многочленов.
Поясните смысл ортогональности базиса, образуемого полиномами Чебышева, и использование свойства ортогональности при расчете значений соответствующих коэффициентов разложения.
Приведите общую формулу вычисления значений коэффициентов разложения функции в комбинацию многочленов Чебышева.
Поясните принцип экономизации степенных рядов при их корректировке до полиномов Чебышева, приведите пример.
Поясните принцип приближения функции с помощью дробно-рациональных функций и приведите общий пример вычисления значений соответствующих коэффициентов.
Как определяется погрешность приближения функции с помощью дробно-рациональных функций?
Какова задача методов интерполяции функций, дайте определение узлов интерполяции, интерполянта и интерполяционной сетки.
Приведите геометрический пример интерполирования функции и пример вычисления коэффициентов в полиноме степени прямым методом.
Запишите интерполяционную формулу Лагранжа и оценку ее погрешности.
Опишите метод построения полинома Лагранжа, приведите пример.
Запишите интерполяционную формулу Ньютона и оценку ее погрешности.
Опишите метод построения полинома Ньютона, приведите пример.
В чем сущность и особенности среднеквадратичной аппроксимации функций?
Поясните сущность метода наименьших квадратов, приведите пример.
Приведите примеры систем нормальный уравнений Гаусса, используемых для вычисления значений коэффициентов различных регрессионных моделей.
Какова сущность полиномиальной аппроксимации функций?