МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Стенка задается размерами отдельных слоев и теплофизическими характеристиками материалов, т. е. объемными теплоемкостями ( c c , где с — удельная теплопроводность тела; — объемный вес тела), и коэффициентами теплопроводности (рис. 2.15 ).

Рис. 2.15

Дано определенное начальное распределение температуры и произвольно выбранные воздействия температур наружных сред II тепловых потоков па поверхности стенки. Вначале составляется расчетная схема. Разбивают стенку на конечное число слоев. При этом допускается, что теплоемкость для каждого слоя сосредото чена в середине его и ограждается термическими сопротивлениями, равными половине толщины слоя.

Таким образом, расчетная схема представляет собой цепочку теплоемкостей с, разделенных между собой термическими сопротивлениями rn,n 1 .

Теплоемкости крайних слоев отделены от наружной среды дополнительным термическим сопротивлением теплоотдачи с поверхности. Процесс теплообмена элементарных слоев между собой и окружающей средой определяется следующей системой уравнений:

Q

1

t

t

;

(2.154)

n

n 1

n,n 1

rn,n 1

Qn 1,n Qn,n 1 n

cn tn ,

(2.155)

где

Qn 1,n , Qn,n 1 —

количество

тепла соответственно

в

слоях и,

n 1, n, n 1 ,

t — температура соответствующих слоев;

n

— время

теплопроводности;

t

— разница

температур. Гидравлическая аналогия

осуществляется следующим образом. Составляется цепь из сосудов с определенными сечениями n , соединенными между собой через

гидравлическое сопротивление n,n 1 (рис. 2.16).

Число сосудов равно числу элементарных слоев. Крайние сосуды соединены с подвижными сосудами В1 и В2. Изменение уровней воды в сосудах будет определяться следующей системой уравнений:

111

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

q			1	h	h
	n,n 1
			n,n1	n	n 1	(2.156), (2.157)

qn 1,n qn,n 1 n n hn

где q — расход жидкости; — коэффициент гидравлических сопротивлений; h — уровень жидкости в сосуде; h — разница уровней жидкости в сосудах.

Рис. 2.16.

Расход жидкости q пропорционален разности уровней в сосудах h (аналог закона теплопроводности), а приращение содержания воды в сосуде

q	за время	t	равно	произведению площади сечения			сосуда	на
приращение высоты уровня.
	Уравнения (2.154) и (2.155) аналогичны уравнениям (2.156) и (2.157).
Предположим,		что	цепь	сосудов	составлена	так, что в	ней величины
n	cn , n,n 1 rn,n 1	численно		равны.	Начальное	распределение	уровней	h в
соответствующем			масштабе изображает			начальное	распределение

температуры в центре элементарных слоев, а изменение уровней в подвижных сосудах происходит так же, как изменение температуры окружающих сред. Тогда уровень в сосудах будет изменяться аналогично изменению температуры в элементарных слоях. Если n и n численно не

равны cn и rn , а лишь пропорциональны им, то тепловой процесс также будет

воспроизводиться на модели, по только в другом масштабе времени. Наличие такой возможности создает большие удобства, так как можно значительно ускорить воспроизведение медленных и замедлить воспроизведение быстро протекающих процессов теплообмена. В этом случае перейти от гидравлической модели к исследуемому процессу можно посредством выбора соответствующих масштабных соотношений.

Если все величины, входящие в уравнения (2.154) — (2.157), выразить в безразмерных величинах, то система (2.154) и (2.155) будет подобна системе (2.156) и (2.157), так как будут равны их безразмерные множители. Отсюда получим основное выражение для масштабных соотношений.

Получаем следующие критериальные соотношения:

112

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

k1		Q2		, k1		q
			t			h
k2			r
			c	, k2

Таким образом, когда гидравлическая цепь составлена в соответствии с теплофизическими характеристиками отдельных слоев, выбирают

соответствие основных величин: h t1, r, c, T								и, если требуется,
соответствие				q Q .	При	этом необходимым	условием	является равенство
k	k , k	2	k .	Здесь	к	— безразмерные	множители	соответствующих
1	1		2

физических величин; индекс отвечает гидравлической модели, индекс — исследуемому тепловому процессу.

Пример. Допустим, что дана задача со следующими условиями. Толщина стенки 2R = 1 м, коэффициент теплопроводности бетона = 1,667, удельная теплоемкость бетона с = 0,2, объемный вес = 200. Начальное распределение

							x
температуры задано в виде t x 20 sin							. Требуется установить
							R
распределение температур в стенке через 10 и 20 ч.
c c			R		1*1 20
0				n
а также термическое сопротивление переходу тепла от одного слоя к
другому
r	R			1		0, 03
0	h 1*1

Для этого перейдем к составлению гидравлической модели. Ввиду симметричности температурного поля рассмотрим только половину его. Разобьем участок стенки, подлежащей исследованию ( R = 0,5 м), на 10 равных по толщине слоев (n = 10). Вычислим теплоемкость одного такого слоя

c c			R		1 1 20
0				n
а также термическое сопротивление перехода тепла от одного слоя к
другому
r	R			1		0, 03
0	h 1 1
Схема					разбивки поля приведена на рис.2.17, схема гидравлической

цепочки, тождественной по начертанию цепочке, замещающей температурное поле, на рис.2.18. Крайнее сосредоточенное термическое сопротивление в два раза меньше остальных. На схеме гидравлической цепочки показаны (внизу)

значения	сосредоточенных	сопротивлений		0 , 0 0,5	и гидравлических
емкостей	(площадей сосудов	0 ),	воспроизводящих		соответствующие
сосредоточенные термические величины.
					113

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для масштабных соотношений принимаем следующее соответствие 20 см напора 20° С; 0,3 мин/см2 гидравлического сопротивления 0,03 ч°С/ ккал термического сопротивления слоя; 2 см2 площади сосуда 20 ккал/°С теплоемкости слоя.

Рис. 2.17. Рис. 2.18.

Вычислим масштаб времени T r0c0 0, 03* 20 1

TГ 0 0 0, 3* 2

Так как требуется установить распределение температур в стенке через 10 и 20 ч от начала теплового процесса, то первая остановка прибора должна

рис. 2.19

быть через 10 ч, а вторая через 20 ч от начала теплового процесса. Следовательно, первая остановка прибора должна быть через 10 мин, а вторая

— через 20 мин после пуска. Для задания на приборе начального состояния

вычисляем значения функции		x	в точках х = 0,025; 0,075;
	t x 20 sin
		R

0,125; 0,475 м (рис. 2.19). Полученные величины будут заданы как начальные напоры в сосудах гидравлической модели. Граничное условие на поверхности стенки t = 0° С будет воспроизведено на приборе подключением с левой стороны

114

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

цепочки сосуда с постоянным уровнем воды в нем, соответствующем 0° С. На правом крае цепочку следует отключить в соответствии с условием симметрии

t 0 (т. е. поток тепла во время теплового процесса равен нулю).

x

На рис. 2.19 приведена кривая начального распределения температур и кривые, рассчитанные на приборе распределений температур через 10, 20 и 40 ч от начала процесса. Следует отметить, что отклонения нигде не превосходят 1,5 мм, т. е. 0,15° С. На гидроинтеграторе можно решать одно-, двух- и трехмерные задачи.

Для решения одномерных задач соединяют сосуды в цепочки. При решении двухмерных задач требуется соединить цепочки из сосудов между собой посредством сопротивления в соответствии с принятой разбивкой исследуемого температурного поля на блоки. возможно также и решение трехмерных задач, но так как при этом такое число сосудов равно 100, то схема разбивки поля на отдельное блоки должна быть заранее продумана.

В приведенных выше примерах аналогии для ясности были рассмотрены простые явления. Однако этот метод применим и для исследования отдельных сложных явлений, встречающихся в различных областях техники.

Ниже представлена таблица наиболее часто встречающихся аналогий между механическими и электрическими системами.

115

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таблица 2.3

Аналогия между механическими и электрическими системами

N		механика	схема		Электрический	схема
					аналог
1	Упр	P = kтрSv = RMv		Двухполюсн	U=I*R
	угое			ик с
	тело			активным
				сопротивлен
				ием
2	Вязк			Двухполюсн
	ое			ик с
	тело			емкостью

116

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Продолжение таблицы 2.3

3						Двухполюсн	U L	dI
						ик с		dt
						индуктивно
						стью
			d
			dt

117

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

m,l, 0 , g

mgl 1 cos 0

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

3. ОДНОМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3.1.Механические математические модели

Пример 3.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 3.1) в виде материальной точки массой m , подвешенной на невесомом стержне постоянной длины l , который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на вели чину

где g — ускорение свободного падения. Если после

отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (точка А на рис. 3.1). При прохождении положения равновесия скорость v материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом

положении кинетическая энергия этой точки равна mv2 2 , так

Рис. 3.1

		2
v					2gl 1 cos 0
		m

Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров (параметр

v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [ m,l, 0 , g ] четырех

параметров и периода Т колебаний можно выразить через к = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [m] = кг, [ l ] = мс, [ 0 ] = 0 и [g] = м/с2. Поэтому в силу -теоремы из п = 5 параметров можно

составить n n k 2 безразмерные комбинации, причем угол 0 , будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную

118

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника . После исключения параметра m имеем

п= 4 и к = 2, т.е. снова п = 2, так что наряду с безразмерным параметром

0 остальные

Пример 3.2 В качестве примера убедимся, что для механической системы, включающей тело 1 массой т, движущееся

Рис. 3.2

поступательно по горизонтальной плоскости и связанное с неподвижной опорой 2 пружиной 3 жесткостью с (рис. 3.2). Действительно, в соответствии со вторым законом Ньютона

запишем

		dv	P * t kтр Sv cu	(3.1)
		dt
	где u — перемещение тела относительно положения равновесия,				v	du
						dt

скорость тела, P*(t) — внешняя сила, приложенная к телу и изменяющаяся (в общем случае) во времени , kтр — коэффициент вязкого трения при движении тела по горизонтальной плоскости, S — площадь поверхности контакта тела с этой плоскостью.

Отметим, что этот процесс может быть представлен в виде эквивалентных электромеханических схем представленных в разделе 3.2. Например, в виде дуальных цепей, на рис. 3.3 , а и б.

Используя введенные обозначения RM = kтрS, CM = 1/с и LM = m, представим выражение в виде

1		t	dv	P * t (3.2)
RM v		vdt LM
	C		dt
	M t
		0

где to — некоторый момент времени, принятый за начальный. Из сравнения ММ рассматриваемой механической системы и ММ электрической цепи, изображенной на рис. 3.1, видно, что модели идентичны при выборе в механической системе силы в качестве потенциальной величины, аналогичной падению электрического напряжения, и скорости в качестве потоковой величины, аналогичной силе электрического тока. Это определяет I вариант электромеханической аналогии (табл. 3.1). Но если в механической системе

119

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

потенциальной величиной считать скорость, а потоковой — силу, то ММ этой системы будет идентична ММ электрической цепи, представленной на рис. 3.3,

Действительно, обозначая g%

R

k

%

C

%

L m вместо 8)

S, L

1/ c,C

M

M

тр

M

M

M

M

получаем

M

1

t

% dv

%

M

(3.3)

g% v

LM

t

vdt C

dt

P * t

0

что с точностью до обозначений совпадает с механической моделью и

определяет II вариант электромеханической аналогии (см. табл. 3.3).

Таблица 3.1

Механиче

Электрическая система

ская система

1-й вариант

2-й вариант

Сила

Напряжение

Сила тока

скорость

Сила тока

Напряжение

Вязкое

Сопротивление

Проводимость

трение

Податливо

Емкость

Индуктивность

сть

Масса

Индуктивность

Емкость

перемеще

Заряд

Потокосцепление

ние

импульс

Потокосцепление

Заряд

Энергия

потенциал

электрическая

магнитная

ьная

кинетичес

магнитная

электрическая

кая

Продолжение таблицы 3.1

Мощность

Вязкого

Тепловыделение в резисторе

трения

Использование 2-ого варианта электромеханической аналогии удобнее при построении эквивалентной схемы механической системы, поскольку для этого варианта получают естественное механическое толкование законы Кирхгофа, используемые затем при переходе от эквивалентной схемы к ММ системы. В случае поступательного движения механической системы первый закон Кирхгофа будет аналогом уравнения равновесия всех сил (включая инерционные), действующих на рассматриваемый узел эквивалентной схемы, а второй — аналогом правила сложения скоростей при обходе контура этой схемы. При пространственном движении механической системы силы и скорости являются векторными величинами. Поэтому равенства, следующие из

120

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts