МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ
.pdfСПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Сила направлена по вектору
(4.56)
Отсюда для проекции силы на ось Ou получим
Сумма проекций всех сил натяжений, действующих по контуру направлений
Ou
Подынтегральное выражение зависит только от x и y, по этому криволинейный интеграл по контуру L можно заменить криволинейным интегралом по контуру
L´.
Согласно формуле Грина
Приняв |
|
|
|
|
получим |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме о среднем можно принять
Подставляя это значение |
в (6.6.1), получим |
151
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Отсюда
(4.57)
где
Уравнение (6.6.3) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний мембраны. При получим дифференциальное уравнение свободных колебаний мембраны в виде:
(4.58)
Если мембрана прямоугольная и жестко закреплена по краям, то граничные условия будут:
на краях мембраны, параллельных оси Oy
(4.59)
на краях мембраны, параллельных оси Ox
(5.60)
Если мембрана круглая, нагружена осесимметрично и края ее жестко закреплены, тогда перемещения сечений при будут равны нулю, т.е.
(4.61)
Кроме того, условие
(4.62)
Позволяет определить ограниченное решение. В качестве начальных условий принимаются
(4.63)
152
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
4.7. Вывод дифференциального уравнения движения колонны бурильных труб.
Рассмотрим малый элемент колонны бурильных труб, отстоящий от устья скважины на расстояние x (Рис.4.7). Обозначим площадь поперечного сечения этого элемента через F, удельный вес материала и модуль упругости
Е. На этот элемент действуют следующие силы: Вес элемента |
, сила |
||
сопротивления среды |
, упругая |
сила отброшенной части |
колонны |
бурильных труб в сечении x есть |
, а в сечении |
это |
|
|
. |
|
|
Согласно принципу Даламбера
(4.64)
где u – абсолютное перемещение сечения колонны.
Рис.4.7 |
Рис.4.8 |
Разложим выражение |
в ряд Тейлора. Отбрасывая члены |
второго и высших порядков малости, получим
.
153
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Учитывая, что |
|
, выражение (4.64) можно |
||||||||
|
||||||||||
представить в виде |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.65) |
|
|
|
|
|
Уравнение (4.65) есть дифференциальное уравнение движения колонны бурильный труб с учетом сопротивления среды. При получим дифференциальное уравнение движения колонны бурильных труб в виде:
(4.66)
Граничные условия для движения колонны бурильных труб будут выглядеть следующим образом:
(4.67)
(4.68)
где – тормозное усилие спускного механизма. Начальные условия имеют вид:
(4.69)
(4.70)
4.8. Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай).
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.
Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x 0, а другой - с точкой
(Рис.4.9). Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой
температурой. Процесс может быть описан функцией |
, дающей |
температуру u в каждой точке тела и в любой момент времени. |
|
Рис.4.9
154
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.
1. Количество тепла Q , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u , равно
Q cm u ,
где c - удельная теплоемкость, m - масса тела. Для стержня имеем
(4.71)
где - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения.
2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла Q , протекающее за время t через площадку S в направлении нормали n к этой площадке, равно
Q k un S t ,
где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).
Для стержня имеем |
|
|
|
|
Q kS |
u |
t , |
(4.72) |
|
x |
||||
|
|
|
где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k k x .
3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через F x, t плотность источников в точке x рассматриваемого
стержня в момент t . Тогда в результате действия этих источников на участке |
|
x, x x за промежуток t будет выделено количество тепла |
|
Q F x, t S x t . |
(4.73) |
И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.
Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x x1 и x x 2 x 2 x1 x , и составим уравнение теплового баланса на отрезке x1 , x 2 . Так как боковая
поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (6.8.2) количество тепла, прошедшее через сечение x x1, равно
Q k u |
|
|
S t ; |
|
|
||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
1 |
|
через сечение x x 2 :
155
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
|
|
|
|
|
Q2 k |
u |
|
|
S t . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем приток тепла Q1 Q2 в элемент стержня: |
|
|||||||||||||||||||
Q |
1 |
Q |
2 |
k u |
|
|
|
S t k u |
|
|
S t |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
x x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
S t k x 2 xS t. |
|||||||||
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(К разности частных производных применена теорема Лагранжа). |
||||||||||||||||||||
Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом |
||||||||||||||||||||
участке в течение времени t выделится количество тепла согласно (4.73) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q3 F x, t S x t . |
|
|
|
|
||||||||||
Все тепло Q Q1 Q2 Q3 |
за |
|
|
время |
|
t |
пойдет на изменение |
температуры выделенного элемента стержня на величину u . И поэтому сообщенное количество тепла Q , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (4.71):
Q c S x u x, t 2 u x, t1 c S x ut t .
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
k |
2 u xS t. F x, t S x t c S x u t . |
|||||
|
x 2 |
|
|
|
t |
|
Сокращая на общий множитель S x t , получим уравнение |
||||||
|
|
k |
2 u F x, t c |
u . |
||
|
|
|
x 2 |
|
t |
|
Введя обозначения |
k |
a 2 , |
F x, t |
f x, t , придем к уравнению |
||
|
c |
|
||||
|
c |
|
|
|||
|
|
u a 2 2 u |
f x, t . |
(4.74) |
||
|
|
t |
x 2 |
|
|
|
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла |
в однородном стержне. Уравнение (4.74) называют уравнением
теплопроводности, в котором постоянную |
a 2 |
называют коэффициентом |
температуропроводности. Коэффициент |
a 2 |
имеет размерность м 2 /с. |
Уравнение (4.74) является линейным неоднородным уравнением
параболического типа.
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для
156
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.
Процесс распределения температуры u u x, y, z, t |
в изотропном теле |
||||||||||||
описывается уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
a 2 |
|
2 u |
|
2 u |
|
2 u |
f x, y, z, t , |
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
(4.75) |
||||
t |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое кратко записывается так: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
u a 2 u f x, y, z, t , |
(4.76) |
||
|
|
|
|
|
t |
|
||
где |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
- оператор Лапласа. |
|
|||
x 2 |
y2 |
|
z2 |
|
||||
Уравнение |
(4.76) описывает также процессы |
диффузии, где u - |
||||||
концентрация диффундирующего вещества, и другие. |
|
|||||||
Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, |
недостаточно одного уравнения (4.76). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).
Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.
Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.
Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения
теплопроводности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальное условие состоит в задании функции u u x, t |
в начальный |
|||||||||||
момент времени t 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u x,0 u |
|
t 0 |
x . |
(4.77) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выведем граничные условия в случаях I – III. |
|
|
||||||||||
1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура |
|
|||||||||||
|
u |
|
x 0 |
1 t , |
|
u |
|
x |
2 t , |
|
(4.78) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где 1 t , |
2 t - |
|
|
|
|
|
|
|
|
t T , |
||
функции, заданные в некотором промежутке t 0 |
||||||||||||
причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В |
||||||||||||
частности, |
1 t u1 const , |
|
|
|
2 t |
u2 const , т.е. |
на |
концах |
||||
поддерживается постоянная температура u1 |
и u 2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения x 0
|
|
|
|
||
u |
|
|
1 |
t . |
(4.79) |
x |
|
|
|||
|
x 0 |
|
|
q1 t - величина |
|
|
|
|
|||
Дадим физическое толкование этому условию. Пусть |
теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение
x 0 в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента |
|||||||||||||||||||||
стержня 0; x |
в период времени t 2 t1 t , |
как и при выводе уравнения |
|||||||||||||||||||
(4.74) запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
q |
1 |
t t k u x, t S t c S x u t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 t |
|
|||||
Сократив на t |
и перейдя к пределу при x 0, получим |
u |
|
0, t |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
k S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
имеем условие (4.80), в котором 1 t - известная функция, |
||||||||||||||||||||
выражающаяся через заданный поток тепла q |
|
t |
по формуле |
|
|
|
t |
q1 t |
. |
||||||||||||
1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k S |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично для сечения x l , через которое протекает количество тепла |
|||||||||||||||||||||
q2 t , найдем |
|
|
|
|
|
|
|
q 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u |
|
x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
k S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
условие |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
имеет место в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то q1 t 0 или q2 t 0 , и следовательно,
или
3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения
. |
(4.80) |
Условие (4.80) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура которой известна, пропорционально разности температур
поверхности тела и окружающей среды:
q u ,
158
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
где - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).
Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток q t , вытекающий через сечение
x l , равен
.
С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье
.
Приравнивая правые части этих выражений, найдем
.
Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде
,
в котором положено h k , 3 t h t .
Граничные условия, наложенные на значение производной u x x, t , называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции u x, t , так и на значение производной u x x, t , называют условиями
третьего рода.
В случае граничных условий вида (4.78) - (4.80) говорят соответственно о
первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (4.77).
Так, первая краевая задача состоит |
в отыскании решения u u x, t |
||
уравнения |
|
|
|
u |
a 2 u f x, t |
при |
, 0 t T , |
t |
xx |
|
|
удовлетворяющего условиям |
|
|
|
|
u x,0 x , |
, |
|
|
u 0, t 1 t , |
|
, 0 t T . |
Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями |
|||
граничных условий при x 0 и |
. |
|
Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения u x, t в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.
Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным
159
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.
Задача Коши |
для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно |
||||
длинного |
стержня) |
|
математически формулируется |
так: найти |
решение |
u u x, t |
уравнения |
теплопроводности в области |
x , |
t 0 , |
удовлетворяющее начальному условию
u t 0 x x , где x - заданная функция.
Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем
в качестве |
примера |
|
формулировку |
первой |
краевой |
задачи для |
||||||||||||||
«полубесконечного» стержня: найти решение |
u u x, t |
уравнения |
||||||||||||||||||
теплопроводности в области 0 x , t 0 , удовлетворяющее условиям |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
t 0 x , |
0 x , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x 0 t , |
t 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где x и t - заданные функции. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для уравнения (4.76) теплопроводности в пространстве V , ограниченном |
||||||||||||||||||||
поверхностьюS , начальное условие записывают в виде |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, y, z,0 |
x, y, z , |
|
|
|||
а на границе S области V функция |
u u x, y, z, t |
должна удовлетворять |
||||||||||||||||||
одному из условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) u x, y, z, t |
|
S f1 |
M, t (граничное условие 1-го рода); |
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
u |
|
|
f |
2 |
M, t (граничное условие 2-го рода); |
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n - |
внешняя нормаль к поверхности S ; в частности, если поверхность S |
|||||||||||||||||||
теплоизолирована, то u |
|
0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
n |
|
S |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
|
|
|
|
f3 |
M, t (граничное условие 3-го рода). |
|
|||||||||||||
|
hu |
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь M x, y, z |
- текущая точка поверхности S . |
|
|
160
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts