Оценка максимального правдоподобия
Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра (в общем случае это векторный параметр) называется такая точка параметрического пространства, на которой функция правдоподобия на полученной реализации выборки достигает своего максимума:
,
Если -векторный параметр, максимум функции правдоподобия для любой реализации выборки достигается во внутренней точке параметрического множества, и функция правдоподобия дифференцируема по каждой переменной , тогда:
Оценкой максимального правдоподобия неизвестного векторного параметра называется вектор , где есть решение системы уравнений правдоподобия
или системы уравнений правдоподобия
.
-
Пусть - выборка из равномерного распределения . В данном случае оценка максимального правдоподобия , состоятельная, и её закон распределения , то есть в данном случае распределение не является асимптотически нормальным (модель не регулярная).
-
В случае модели любое значение является оценкой максимального правдоподобия Средняя точка интервала, то есть , является несмещенной оценкой θ.
Доверительный интервал для параметра.
СВ U
Построим доверительный интервал для параметра с заданной доверительной вероятностью γ.
Для этого введём новую СВ Тогда UU Сначала построим такой доверительный интервал для параметра θ*.
Рассмотрим СВ
- это для функция распределения максимума выборки n равномерно распределенных случайных величин на [0,1] . Распределение СВ Z не зависит от θ*, значит, и от θ, поэтому СВ Z – центральная статистика. Наивероятнейшие значения Z в окрестности 1. Тогда доверительный интервал для Z будет иметь вид то есть
Или с вероятностью γ выполняются неравенства:
или
или
- искомый доверительный интервал для параметра θ с доверительной вероятностью γ.
-
В модели по выборке объёма n γ-доверительный интервал для параметра θ будет таким: .
-
В модели γ-доверительный интервал будет таким: .
Асимптотические свойства о.М.П.
Пусть Х=(- выборка из распределения U(0,θ). Тогда о.м.п.=.
Рассмотрим вспомогательный пример.
Пусть F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1. Здесь =1 и применим критерий с α=1; при этом =, =1. Таким образом, в данном случае имеем предел:
P{ n (─ 1 ) ≤ x } →, x<0.
Возвращаясь к исходной задаче видим, что экстремальные значения выборки не являются асимптотически нормальными. В частности, в рассматриваемом примере имеем (т.к. (ξ/θ)=U(0,1)):
={ n ( ─ 1)≤ x } →, x<0.