method_eltech_v3.2.53_2013-11-17
.pdfВ отсутствие внешних воздействий в такой цепи происходит обмен электро-магнитной энергией между реактивными элементами: ёмкостью (элементом, накапливающим энергию электрического поля) и индуктивностью (элементом, накапливающим энергию магнитного поля). Когда заряженная ёмкость начинает разряжаться, это создаёт ток в ветви в соответствии с дифференциальным уравнением i C dudt , вызывая увеличение энергии индуктивности. Когда ёмкость полностью разряжается, процесс начинает протекать в обратном направлении: энергия индуктивности через посредство тока передаётся ёмкости до полного разряда индуктивности. Эти пульсации энергии, а также тока в цепи и напряжения на элементах, происходят с постоянной частотой 0 , зависящей только от номиналов реактивных элементов, и называемой частотой собственных колебаний:
|
1 |
(5.27) |
|
||
0 |
LC |
|
|
|
Примечание. В более сложных схемах в выражение (5.27) нужно подставить эквивалентные ёмкость Cэ и индуктивность Lэ, либо можно вывести выражение для частоты из условия резонанса Xвх 0 (см. ниже).
Если в цепи нет сопротивлений (элементов, преобразующих энергию из электрической формы в тепловую), то обмен энергией между реактивными элементами может происходить бесконечно долго. В реальности в цепи всегда есть сопротивление (паразитные сопротивления элементов и проводов); в таких условиях колебания постепенно затухают со скоростью, зависящей от величины сопротивления. Частота этих колебаний от сопротивления не зависит и сохраняется постоянной.
Вслучае если к схеме подключить источник переменного сигнала
счастотой , равной частоте собственных колебаний 0 , то такой источник будет восполнять потери энергии, вызванные сопротивлением. Т. е. энергия, потребляемая схемой, целиком расходуется на потери в сопротивлении.
5.4.2Виды резонанса
Резонанс в электрической цепи может быть двух видов: резонанс токов или резонанс напряжений.
Резонанс напряжений — явление, происходящее в сколь угодно сложном пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного характера, при котором на некоторой частоте 0 0 входное реактивное сопротивление этого двухполюсника Xвх 0 .
Xвх — это мнимая часть комплексного сопротивления Zвх . Если Xвх 0 , то Zвх — чисто действительная величина, т. е. угол наклона вектора Zвх к горизонтальной оси (начальная фаза Zвх ) равен нулю. По определению комплексного сопротивления двухполюсника (см. уравнение
91
(5.16)), начальная фаза его сопротивления равна разности начальных фаз его напряжения и тока.
Из этого вытекает один из признаков резонанса: равенство начальных фаз входного тока и напряжения.
0 u i 0 |
(5.28) |
Резонанс токов — явление, происходящее в сколь угодно сложном пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного характера, при котором на некоторой частоте 0 0 входная реактивная проводимость этого двухполюсника Bвх 0 .
5.4.3 Резонанс напряжений
Рассмотрим частотные зависимости различных параметров схемы и их значения при резонансе на примере RLC-контура.
Комплексное входное сопротивление при равенстве нулю реактивной части Xвх 0 становится равным активной части:
Zвх 0 Rвх 0 jXвх 0 Rвх 0 . |
(5.29) |
|||||||||||||
Полное сопротивление |
|
|
(модуль |
комплексного |
сопротивления) |
|||||||||
при резонансе имеет минимальное значение (рис. 5.11,б): |
|
|||||||||||||
z |
вх |
( ) |
R2 |
( ) X 2 |
( ) R |
( ) . |
(5.30) |
|||||||
|
0 |
|
|
вх |
0 |
|
вх |
0 |
|
вх |
0 |
|
||
Следовательно при резонансе ток максимален и равен (см. рис. |
||||||||||||||
5.11,в): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
вх |
|
|
U |
вх |
. |
|
|
(5.31) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
Rвх 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Емкостное и индуктивное сопротивление при резонансе равны (см.
рис. 5.11,а):
Xвх 0 X L 0 XC 0 0 |
|
X L 0 XC 0 |
|
|||||||||||
X |
L |
( ) L |
|
L |
, |
X |
C |
( ) |
1 |
|
L |
|
(5.32) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
0 |
|
C |
|
0 |
C |
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
где — характеристическое, или волновое, сопротивление цепи. |
|
|||||||||||||
Частотные характеристики UC |
и UL можно выразить как: |
|||||||||||||
|
|
|
UL I L |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
UC I 1 C . |
|
|
|
|
(5.33) |
||||||
Максисмум UL |
наступает позже максимума тока, т. е. L 0 |
, т. к. |
||||||||||||
UL равно произведению I |
на возрастающую величину L . В свою оче- |
|||||||||||||
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
редь максимум UC наступает раньше максимума тока, т.
рис. 5.11,д).
Равенство при резонансе емкостного и индуктивного |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
приводит к тому, что напряжения на индуктивности U L |
|||||||
противоположны по значению и компенсируют друг друга: |
|||||||
U L jX L ( 0 ) I вх j I вх, . |
|||||||
U |
C |
jX |
C |
( ) I |
вх |
j I |
вх |
|
|
0 |
|
е. C 0 (см.
сопротивления и ёмкости U C
(5.34)
UL=I·XL
I
UR
UC=I·XC
Рис. 5.10. Векторная диаграмма цепи при резонансе
Входное напряжение, таким образом, при резонансе падает только на активном сопротивлении:
U вх( 0 ) Zвх I вх 0 Rвх( 0 ) I вх 0 |
U |
R ( 0 ) . |
(5.35) |
|
Отношение действующих значений напряжений на реактивном элементе (5.34) и на входе (5.35):
UL |
UC |
|
Iвх |
|
|
Q |
(5.36) |
|||
|
R |
|||||||||
U |
вх |
U |
вх |
|
R I |
вх |
|
|
|
|
|
|
|
вх |
|
вх |
|
|
определяется добротностью контура:
Q |
L |
|
1 |
|
1 |
|
|
0L . |
(5.37) |
|
C |
R |
R |
C |
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Добротность определяет резонансные свойства контура — она показывает, какого увеличения напряжения на реактивных элементах можно ожидать по сравнению со входным напряжением. Если реактивное сопротивление при резонансе превосходит активное сопротивление, то напряжения на зажимах катушки и конденсатора могут превосходить, и иногда весьма значительно, входное напряжение:
XC X L R R Q 1 |
(5.38) |
93
Величина, обратная добротности, называется затуханием контура:
d |
1 |
(5.39) |
|
Q |
|||
|
|
Фазовая характеристика (разность фаз входного напряжения и тока) при резонансе пересекает ноль (см. рис. 5.11,е). При меньшей частоте характер цепи емкостной, при большей частоте характер цепи индуктивный. При этом 2 при 0 и 2 при .
5.4.4 Частотные характеристики простейшего R-L-C-контура
На рис. 5.11 приведён пример моделирования рассмотренных выше фазо-частотных характеристик для последовательного RLC-контура с параметрами элементов и сигналов: C 1 мкФ, L 15 мГн, R 65 Ом, Uвхm 2 В; частота меняется от 100 до 3500 Гц; резонансная частота контура равна f0 1,3 кГц. В качестве тренировки рекомендуется рассчитать характерные точки, отмеченные на графиках.
Список изображённых графиков (сверху вниз): а) индуктивное X L , емкостное XC и реактивное X сопротивление; б) полное сопротивление z (амплитуда комплексного сопротивления); в) ток I контура; г) напряжение UR на сопротивлении; д) напряжение UL на индуктивности, UC на ёмкости; е) разность фаз между входным напряжением и током.
94
Рис. 5.11. Фазо-частотные характеристики R-L-C-контура
95
6 Расчёт переходных процессов в линейных схемах
Equation Section (Next)
6.1. Основные понятия. — 6.2. Этап 1. t = –0. Состояние схемы перед коммутацией. – 6.3. Этап 2. t = +0. Состояние схемы после коммутации. — 6.4. Этап 3. t > 0. Классический метод расчёта переходных процессов. — 6.5. Этап 3. t > 0. Операторный метод расчёта переходных процессов. — 6.6. Примеры расчёта переходных процессов.
6.1 Основные понятия
Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Установившимся режимом называется режим работы схемы по постоянному сигналу или периодическому сигналу с постоянными параметрами. Причиной перехода является коммутация — резкое изменение внутренних параметров цепи или её топологии. Переходной процесс протекает только в том случае, если в схеме есть реактивные элементы.
События, связанные с переходным процессом, происходят в следующем порядке (см. левую часть табл. 6.1). [Показать на графике].
Табл. 6.1. Этапы течения и расчёта переходного процесса
№ |
Время |
События |
Время |
Что рассчи- |
Схема |
|
|
(реальное) |
|
(расчётное) |
тывается |
|
|
1 |
t 0 |
Первое |
t 0 |
Состояние схе- |
СПС1 |
|
|
устойчивое |
мы перед ком- |
|
|||
|
|
|
состояние |
|
мутацией |
|
2 |
|
|
Коммутация |
|
Начальные усло- |
|
|
|
|
|
|
вия переходного |
|
|
0 t Tк |
|
t 0 |
процесса: |
|
|
|
|
а) независимые; |
а) — (по |
|||
|
|
|
|
|
|
законам) |
|
|
|
|
|
б) зависимые |
б) СНУ, |
|
|
|
|
|
Переходной |
СНУ2 |
3 |
Tк t Tуст |
Течение пе- |
|
|
||
|
реходного |
|
процесс: |
|
||
|
|
|
процесса |
t 0 |
а) принуждённая |
а) СПС2; |
4 |
t |
Tуст |
Второе |
составляющая; |
|
|
|
|
|||||
|
устойчивое |
|
б) свободная |
б) ССС |
||
|
|
|
состояние |
|
составляющая |
|
где |
Tк |
— длительность коммутации, Tуст — момент времени установле- |
||||
ния второго состояния. |
|
|
|
Во многих практических случаях длительность самой коммутации можно считать пренебрежимо малой, т. е. принять Tк 0 . Для этого случая в окрестности нуля можно выделить три ключевых момента времени:
96
t 0 0 – момент, непосредственно предшествующий комму-
тации, t 0 – момент начала коммутации,
t 0 0 – момент окончания коммутации и начала переходного процесса.
где – бесконечно малая.
Расчёт переходного процесса при Tк 0 проводится в хронологи-
ческом порядке (см. правую часть табл. 6.1). Метод, разработанный на кафедре ЭиЭ МИЭМ, вместо решения системы дифференциальных уравнений включает в себя решение набора вспомогательных резистивных схем.
1)расчёт состояния схемы непосредственно перед коммутацией;
2)расчёт состояния схемы непосредственно после коммутации;
3) расчёт самого переходного процесса, содержащего свободную и принуждённую составляющую
Завершение переходного процесса практически происходит за вре-
мя Tуст 4 5 , где – постоянная времени переходного процесса. Практическим условием окончания является снижение разности между текущим и предельным значением сигнала до уровня 1 2%. После этого поведение схемы определяется только принуждённой составляющей (схема находится во втором устойчивом состоянии).
Сам переходной процесс может быть рассчитан классическим или операторным методом.
6.2 Этап 1. t 0 .
Определение состояния схемы перед коммутацией
Исходная схема («схема первого принуждённого состояния» — СПС1) рассчитывается в режиме постоянного или переменного тока (в зависимости от состава схемы и входных сигналов). По схеме для момента времени t 0 определяются искомые величины, а также напряжения конденсаторов и токи индуктивностей. Методы, используемые для этого, подробно описаны в главах, посвящённых расчёту схем по постоянному и переменному сигналу.
6.3 Этап 2. t 0 .
Определение начальных условий переходного процесса
На втором этапе рассматривается состояние схемы непосредственно после коммутации, т. е. в момент времени t 0 . Сигналы, полученные в результате такого расчёта, называются начальными условиями переходного процесса. По схеме определяются зависимые и независимые начальные условия. Независимыми начальными условиями называются напряже-
97
ния конденсаторов и токи индуктивностей, зависимыми — значения всех остальных сигналов (токов, напряжений) и их производных.
6.3.1 Этап 2а. Определение независимых начальных условий
Для емкостей и индуктивностей выполняются, за исключением особых случаев, законы коммутации.
2-й закон коммутации (для ёмкостей). Связь тока и напряжения ёмкости выражается дифференциальным уравнением
|
|
|
|
duC t |
|
|
iC t |
. |
|
(6.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
Интегрирование выражения (6.1) за время коммутации даёт |
|
|||||||||||||
Tк |
du t |
|
|
|
Tк |
|
i t |
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
dt |
|
|
|
C |
dt , |
(6.2) |
|||
|
|
|
dt |
|
C |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T0к |
|
uC t |
1 |
|
к iC t dt |
(6.3) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
C |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Если длительность коммутации устремить к нулю: Tк 0, то интеграл в правой части (6.3) обращается в нуль (т. к. подынтегральное выражение ограничено):
uC 0 uC 0 0 . |
(6.4) |
Отсюда окончательно получаем закон коммутации для емкостей:
uC ( 0) uC ( 0) |
(6.5) |
Этот закон говорит о том, что напряжение на ёмкости при возникновении коммутации не меняется мгновенно: его значение в последний момент перед коммутацией равно его значению в первый момент после коммутации. Исключение из этого закона коммутации существует для емкостей, которые входят в контуры, состоящие только из ёмкостей и источников э. д. с. [пример]
1-й закон коммутации (для индуктивностей). Связь тока и напряжения индуктивности выражается дифференциальным уравнением
diL (t) |
uL (t) . |
(6.6) |
|
dt |
|||
L |
|
Аналогично предыдущему пункту выводится закон коммутации для индуктивностей:
98
iL ( 0) iL ( 0) |
(6.7) |
Этот закон говорит о том, что ток индуктивности при возникновении коммутации не меняется мгновенно. Исключение из этого закона коммутации существует для индуктивностей, которые входят в сечения, состоящие только из индуктивностей и источников тока (простейшим примером сечения являются ветви, подключённые к одному узлу — см. главу 2). [пример].
6.3.2 Этап 2б. Определение зависимых начальных условий
Зависимые начальные условия рассчитываются в момент t 0 с использованием вспомогательной резистивной схемы СНУ1 (Схема для определения Начальных Условий). Схема СНУ1 составляется таким образом, чтобы зафиксировать состояние исходной схемы в момент t 0 . Для составления этой схемы необходимо в исходной схеме выполнить коммутацию в соответствии с условиями задачи, заменить реактивные элементы постоянными источниками питания, учитывающими накопленную в них электро-магнитную энергию, зафиксировать значения переменных источников в момент времени t 0 . Каждая ёмкость заменяется источником э. д. с. с номиналом, равным напряжению конденсатора в момент t 0 : E uC 0 , а каждая индуктивность заменяется источником тока с номиналом, равным току индуктивности в момент t 0 : J iL 0 .
(а) (б)
Рис. 6.1. Замена реактивных элементов постоянными источниками питания: ёмкости (а), индуктивности (б)
В схеме СНУ1 напряжения на всех элементах и токи всех ветвей имеют постоянные значения, равные величине соответствующих переменных напряжений и токов в момент t 0 . Резистивная схема СНУ1 рассчитывается по постоянному сигналу.
(а) |
(б) |
Рис. 6.2. Исходная схема (а), СНУ (б)
В примере на рис. 6.2 искомый ток iн( 0) определяется из схемы СНУ, например, по методу наложения:
99
iн( 0) |
e( 0) uC ( 0) |
i( 0) |
iL ( 0) |
|
R |
|
|
R r |
|
R r |
|||||
|
|
|
|
. |
|||
|
E uC ( 0) Im sin iL ( 0) R |
|
|
||||
|
|
R r |
|
|
|
|
Для определения начальных значений производных необходимо составить резистивную схему СНУ2. Схема СНУ2 составляется таким образом, чтобы зафиксировать производные сигналов исходной схемы в момент t 0 . В схеме СНУ2 напряжения на всех элементах и токи всех ветвей имеют постоянные значения, равные величине производных соответствующих переменных напряжений и токов в момент t 0 . Резистивная схема СНУ2 рассчитывается по постоянному сигналу.
6.4 Этап 3. t 0 .
Классический метод расчёта переходного процесса
Классический метод расчёта переходного процесса заключается в следующем. Для цепи после коммутации составляется система дифференциальных уравнений, например, по законам Кирхгофа (если уравнения получаются интегро-дифференцальными, то при помощи дифференцирования они превращаются в дифференциальные), а затем ищется её решение путём непосредственного интегрирования уравнений. Дифференциальные уравнения для линейной цепи с постоянными номиналами элементов являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами:
На примере тока: a |
d ni |
a di |
a i f t , |
(6.8) |
|
n dtn |
1 dt |
0 |
|
где an , a0 — постоянные коэффициенты.
Коэффициенты и правая часть уравнения зависят от номиналов элементов схемы. В результате решения системы дифференциальных уравнений находятся функции зависимости токов и напряжений от времени. Решение диференциального уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения (т. е. с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (исходного).
Частное решение неоднородного уравнения выражает принуждённый режим, задаваемый источником, и определяется видом правой части.
Общее решение однородного уравнения определяет токи и напряжения, существующие в цепи в отсутствие внешних источников и при задан-
ных начальных условиях. Эти сигналы называются свободными. |
|
i iпр iсв |
(6.9) |
100 |
|