Шпора по Линалу
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)
Кафедра алгебры и математической логики
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Методические указания к домашней контрольной работе
по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Часть 1
Москва
2005
− 2 −
Составители: канд. физ.-мат. наук И.К. Бусяцкая; канд. физ.-мат. наук К.К. Андреев
УДК 512.8
Линейные операторы: Метод. указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1 / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: И.К. Бусяцкая, К.К. Ан-
дреев. М., 2005. – 23 с.
Табл. 1, рис. 3.
На конкретных примерах излагаются способы решения задач домашней контрольной работы по теме «Линейные операторы». Приводится ряд дополнительных сведений из теории линейных операторов, некоторые из которых доказываются, а некоторые предоставляются для доказательства студентам.
Для студентов групп М-21 – 24, ЭМ-21 первого курса ФПМ и групп МЭ-21, 22 первого курса ФЭМ.
ISBN
− 3 −
Условия задач
Общие условия ко всем вариантам
Даны линейные операторы ϕ и ψ в пространстве V 3.
1.Найти матрицы операторов ϕ, ψ и ϕ ψ в базисе i, j, k.
2.Найти ядро и образ операторов ϕ и ψ. В случае ненулевого ядра описать их уравнениями.
3.Выяснить, существует ли обратный оператор для ϕ ψ. Если да, то описать его геометрический смысл; если нет, то указать причину.
|
|
Условия вариантов |
|
|
|
Номер |
ϕ ψ |
Номер |
ϕ ψ |
Номер |
ϕ ψ |
варианта |
|
варианта |
|
варианта |
|
1 |
1а 2б |
11 |
4б 1г |
21 |
1е 2а |
2 |
2а 1б |
12 |
5б 2в |
22 |
1г 5б |
3 |
3а 4а |
13 |
6б 3в |
23 |
4в 3б |
4 |
4а 6д |
14 |
1е 2б |
24 |
1г 4в |
5 |
5а 3а |
15 |
1в 5б |
25 |
2б 3б |
6 |
6а 2а |
16 |
2в 6г |
26 |
3б 6е |
7 |
6е 5а |
17 |
3в 5а |
27 |
4б 4в |
8 |
1б 4б |
18 |
4в 2б |
28 |
2а 5б |
9 |
2б 6б |
19 |
5в 6д |
29 |
6г 6д |
10 |
3б 6в |
20 |
6в 1д |
30 |
4б 1е |
1.Поворот вокруг оси а) OZ на 90°; б) OZ на 45°; в) OX на 45°; г) OX
на 30°; д) OY на 90°; е) OY на 60°.
2.Ортогональное проектирование на плоскость а) x + y + z = 0;
б) x – y + z = 0; в) x + y – z = 0.
3.Ортогональное проектирование на ось а) x = 0, y = z; б) x = z, y = 0;
в) x = y = z.
4.Зеркальное отражение относительно плоскости а) x + y + z = 0;
б) x – y + z = 0; в) x + y – z = 0.
5.Зеркальное отражение относительно оси а) x = y, z = 0; б) x = z, y = 0; в) x = y = z.
6.Векторное умножение на вектор а) a = i + j + k; б) a = i + j – k;
в) a = i – j + k; г) a = i + 2k; д) a = j – 2k; е) a = 2i – j.
− 4 −
§1. Определения и примеры
Пусть V – линейное пространство, т.е. множество, элементы которого мы назовем векторами, с двумя операциями: сложением векторов и умножением вектора на число из поля Р (Р = R или P = C). Эти операции обладают определенными «естественными» свойствами. Пусть также ϕ – отображение V в V, т.е. правило, описывающее, как по вектору x V находить вектор y V. При этом вектор у называется образом вектора х и обозначается у = ϕ (x).
Отображение ϕ: V → V называется линейным оператором, если оно обладает следующими свойствами.
1.ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), т.е. образ суммы двух векторов совпадает с суммой образов этих векторов.
2.ϕ(λx) = λϕ(x) – образ вектора, умноженного на число, совпадает с произведением образа этого вектора на то же число.
Отсюда вытекает, что если ϕ – линейный оператор в V, то
ϕ(α1x + α2y) = α1ϕ(x) + α2ϕ(y),
т.е. образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации образов этих векторов с теми же коэффициентами.
Примеры.
1. Рассмотрим произвольное линейное пространство V и в нем два оператора.
ϕ1(x) = 0 x V. ϕ1 называется нулевым оператором.
ϕ2(x) = x x V. ϕ2 называется тождественным оператором и обозначается id.
Линейность этих операторов проверяется без труда. (Проверьте!)
2. Рассмотрим линейное пространство V = R2, т.е. множество всех векторов плоскости, и отображение ϕ – поворот плоскости на угол π6 . Это
отображение является линейным оператором (см. рис. 1). Проверяем свойства:
ϕ(x1 + x2) = ϕ (x1) + ϕ (x2),
ϕ(λx1) = λϕ(x1).
Можно рассмотреть оператор поворота на произвольный угол α. Этот линейный оператор обозначается ϕα. Заметим, что при α = 2kπ ϕα
= id.
− 5 − |
у1 + у2 = φ(x1 + x2) |
у1 = φ(x1) |
у2 = φ(x2) |
x1 + x2 |
x2 |
x1 |
Рис. 1 |
3. Пусть V = R3 – множество всех векторов трехмерного пространства. Отображение ϕ – ортогональное проектирование на плоскость OXY.
Для проверки линейности этого оператора воспользуемся известными свойствами проектирования.
ϕ(a + b) = прOXY (a + b) = прOXY a + прOXY b = ϕ(a) + ϕ(b); ϕ(λa) = прOXY (λa) = λпрOXY a = λϕ(a).
ϕ – оператор проектирования на плоскость – линейный оператор (проектор).
b |
a |
x |
φ(a) = прOXY a |
Рис. 2
φ(a + b)
−6 −
4.Не все отображения являются линейными. В том же векторном пространстве V = R3 рассмотрим единичную сферу, задаваемую в декарто-
вой системе координат уравнением x2 + y2 + z2 = 1, и отображение ϕ, переводящее вектор a в вектор ϕ(a), сонаправленный вектору a и имеющий единичную длину.
a |
φ(a) |
Рис. 3
Отображение ϕ не является линейным оператором, т.к. ϕ(λa) = ϕ(a) ≠
≠λϕ(a) при λ ≠ 1.
5.Рассмотрим V = Pn [x] , т.е. линейное пространство всех многочленов степени не выше n:
Pn [x] = {p(x) = anxn +…+ a1x + a0, ai P},
и ϕ – отображение дифференцирования:
ϕ(anxn +…+ a1x + a0) = nanxn–1 +…+ a1.
Мы знаем свойства производной:
(p(x) + q(x))+ = p+(x) + q+(x) и (λp(x))+ = λp+(x);
следовательно, отображение дифференцирования является линейным оператором, который обозначается ϕ = d.
6. Пусть V = Mn – линейное пространство квадратных матриц порядка n, A – фиксированная матрица, ϕ – отображение Mn → Mn , действующее следующим образом: для произвольной матрицы B Mn образ
ϕ(B) = A B.
Проверим линейность этого отображения, используя известные свойства умножения матриц:
ϕ(B + C) = A(B + C) = AB + AC = ϕ(B) + ϕ(C);
ϕ(λB) = A(λB) =λAB = λϕ(B).
Если n = 2, а матрица A = &1
%0
1# |
& a |
b # |
! |
, то для любой матрицы B = |
! |
1! |
c |
d ! |
|
% |
|
− 7 −
ϕ(B) = |
&1 |
1# & a b # |
= |
& a + c b + d # |
|||||
|
0 |
! |
! |
|
c |
d |
!. |
||
|
|
1! c d ! |
|
|
! |
||||
|
% |
|
% |
|
|
% |
|
|
|
7. Рассмотрим линейное пространство V = Rn =
. x1 |
+ |
|
|
|
= !, |
…), x |
R! |
||
&, |
|
) |
i |
# |
!, |
|
) |
|
! |
− xn |
|
|
|
|
% |
|
|
|
и A Мn – фиксированную квадратную матрицу порядка n; x =
& x1 #!…! ,
% xn !
& y1 |
# |
|
|
|
|
y = …!! – векторы пространства Rn. |
|
|
|
||
|
! |
|
|
|
|
% yn |
|
|
|
|
|
|
|
& a1 |
… an # |
|
|
С помощью матрицы А = |
|
1 |
1 ! |
зададим отображение ϕA: |
|
… … …! |
|||||
|
|
a1 |
… an ! |
|
|
|
|
% |
n |
n |
|
Rn → Rn следующим образом:
& x1 |
# |
& y1 |
# |
|
||
|
|
! |
|
|
! |
= |
|
…! |
→ |
…! |
|||
|
|
! |
|
|
! |
|
% xn |
|
% yn |
|
|
& a11 |
… a1n # & y1 |
# |
|
|
|
! |
|
! |
, т.е. y = ϕA (x) = Аx. |
… … …! |
…! |
|||
a1 |
… an ! y |
! |
|
|
% n |
n % |
n |
|
|
ϕА – линейный оператор, т.к.
ϕА (x1 + x2) = А(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = ϕА (x1) + ϕА (x2); ϕА (λx) = A (λx) = λ(Ax) = λϕА (x).
Этот пример, как мы увидим в следующем параграфе, является универсальным.
§2. Матрица линейного оператора в данном базисе
Пусть e1, …, en – некоторый базис линейного пространства V, т.е. линейно независимая система векторов, через которую линейно выражается любой вектор пространства V; ϕ – линейный оператор. Образы базисных векторов ϕ(е1), …, ϕ(еn), как и все векторы пространства V, линейно выражаются через базисные векторы e1, …, en:
ϕ(е1) = a11 e1 + … + a1n en; ϕ(е2) = a12 e1 + … + an2 en;
− 8 −
ϕ(еn) = a1n e1 + … + ann en.
|
& a1 |
… an # |
|
Матрица A = |
1 |
1 ! |
называется матрицей линейного оператора |
… … …! |
|||
|
a1 |
… an ! |
|
|
% n |
n |
|
в данном базисе. В столбцах этой матрицы стоят координаты образов базисных векторов в рассматриваемом базисе.
Примеры.
|
|
|
&1# |
|
& 0# |
& 0# |
|
|||
1. Пусть V = R3, e1 = 0!! |
, e2 = 1!! , e3 = 0!! – стандартный базис. |
|
||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
! |
|
! |
|
|
|
|
% |
0 |
|
% |
0 |
% |
1 |
|
Рассмотрим нулевой и тождественный операторы. В первом случае |
||||||||||
ϕ(x) = 0 x и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕ(e1) = 0e1 + 0e2 + 0e3; |
|
||||||
|
|
|
ϕ(e2) = 0e1 + 0e2 + 0e3; |
|
||||||
|
|
|
ϕ(e3) = 0e1 + 0e2 + 0e3; |
|
||||||
|
&0 |
0 0# |
|
|
|
|
|
|
||
|
A = 0 |
0 0!! – матрица нулевого оператора. |
|
|||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
% |
0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
||
Если ϕ = id, то id (x) = x x и, следовательно, |
|
|||||||||
|
|
|
id(e1) = e1 =1e1 + 0e2 + 0e3; |
|
||||||
|
|
|
id(e2) = e2 =0e1 + 1e2 + 0e3; |
|
||||||
|
|
|
id(e3) = e3 =0e1 + 0e2 + 1e3. |
|
||||||
Следовательно, матрицей оператора id будет матрица |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
&1 |
0 |
0# |
|
|
|
|
|
|
A = 0 1 0!! = E. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
%0 0 1 |
|
|
||
Заметим, что матрицами нулевого и тождественного оператора в лю- |
||||||||||
бом базисе будут нулевая и единичная матрицы соответственно. |
|
|||||||||
2 |
, i = |
& |
1# |
|
& |
0# |
|
|
2 |
. |
2. V = R |
|
! и j |
= |
! |
– стандартный базис пространства R |
|||||
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
% |
0 |
|
% |
1 |
|
|
|
|
Оператор ϕ – поворот на угол π6 :
ϕ(i) = (cos π6 ) i + (sin π6 ) j; ϕ(j) = (–sin π6 ) i + (cos π6 ) j.
Следовательно, матрицей поворота на угол π6 будет матрица
|
|
|
|
− 9 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
# |
|||
|
& |
cos |
π |
− sin |
π # |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
$ |
|
|
|
! |
|
$ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
! |
||||
A = |
6 |
6 |
= |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||
$ |
|
|
|
! |
$ |
|
|
|
|
|
! |
|||||||||
$ |
sin |
π |
cos |
π |
! |
$ |
1 |
|
|
|
|
3 ! . |
||||||||
|
$ |
6 |
6 |
|
! |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
% |
|
|
|
" |
|
% |
|
|
|
" |
Аналогичным образом можно получить матрицу поворота на любой угол α:
&cos α |
− sin α # |
A = $ |
! . |
$ |
! |
% sin α |
cos α " |
3. V = R3, ϕ – оператор проектирования на плоскость OXY. Найдем
|
|
|
|
|
|
|
&1 |
# |
|
& 0 |
# |
||
матрицу этого оператора в стандартном базисе e1 = i = 0 |
!! , e2 = j = 1 |
!! , e3 = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
% |
|
||
|
& 0# |
&1# |
& 0# |
|
|
& 0# |
|
|
|||||
= k = 0!! |
. Так как ϕ(i) = i = 0!! |
, ϕ(j) = j = 1!! , ϕ (k) = 0 = |
0!! , то A = |
||||||||||
|
|
! |
|
! |
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
% |
1 |
% |
0 |
% |
0 |
|
|
% |
0 |
|
|
|
&1 |
0 |
0 |
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
1 |
0 |
!! . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В столбцах матрицы А стоят образы базисных векторов i, j, k в координатной форме.
4. V = P3 [x] – линейное пространство многочленов степени не выше 3, ϕ = d – оператор дифференцирования; 1, x, x2, x3 – стандартный базис пространства V.
Напомним, что любой многочлен а3х3 + а2х2 + а1х + а0 в рассматриваемом базисе может быть записан в координатной форме как четырех-
мерный вектор
& 0#
!
=3x2 = 03!! .
!
% 0!
& a |
0 |
# |
|
|
|
! |
|
a1 |
! |
; d(1) = 0 = |
|
a |
|
! |
|
2 |
|
||
|
! |
|
|
|
|
! |
|
% a3 |
|
|
& |
0 |
# |
|
& |
1 |
# |
|
& |
0 |
# |
|
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
|
2 |
! |
|
|
! |
, d(x) = 1 = |
|
! |
, d(x2) = 2x = |
|
! |
, d(x3) = |
|||
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
|
0 |
! |
|
% |
|
|
% |
|
|
% |
|
|
Следовательно, матрица оператора d имеет вид:
|
&0 |
1 |
0 |
0 |
# |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
! |
A = |
|
!. |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
! |
|
% |
|
−10−
5.V = R3, ϕА – оператор умножения на матрицу А. Пусть, например,
A =
&1 |
# |
& 0 |
# |
Рассмотрим i = 0 |
!! |
, j = 1 |
!! , |
|
! |
|
! |
% 0 |
|
% 0 |
|
ства R3; вектор x = x1i + x2j + x3k =
&1 |
2 |
|
3# |
||
|
0 |
1 |
|
2 |
! |
|
|
!. |
|||
|
0 |
0 |
1 |
! |
|
% |
|
||||
|
|
& 0 |
# |
|
|
k = 0 |
!! – стандартный базис простран- |
||||
|
|
|
1 |
! |
|
|
|
% |
|
|
& x1 #!x2 ! .
% x3 !
Действие оператора ϕА описывается следующим образом:
& x1 #!
ϕ(x) = A x2 ! =
% x3 !
& |
1 |
2 |
3# & x1 |
# |
& x1 |
+ 2x2 |
+ 3x3 |
# |
|
|
0 |
1 |
2 |
! |
! |
|
x2 + 2x3 |
! |
|
|
! x2 ! |
= |
!. |
||||||
|
0 |
0 |
1 |
! |
! |
|
x3 |
|
! |
% |
% x3 |
|
% |
|
|
|
|
&1# |
|
|
& 2# |
|
|
& 3# |
|||||
Отсюда получаем: ϕ (i) = 0!! , ϕ (j) = 1!! , ϕ (k) = 2!! . Матрица оператора |
|||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
% 0 |
|
|
|
% 0 |
|
|
|
% 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
&1 |
2 |
|
3# |
|
||
ϕА совпадает с исходной матрицей A = 0 |
1 |
|
2!! . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
1 |
|
||||
Этот пример показывает, что любая матрица является матрицей не- |
|||||||||||||
которого оператора, а именно, оператора умножения на эту матрицу. |
|||||||||||||
Каждый линейный оператор ϕ однозначно определяется своей мат- |
|||||||||||||
рицей. Действительно, пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
' |
… … … … |
|
# |
|
& a1 |
… an |
# |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
! |
||
A = |
% |
ϕ(e ) ϕ(e |
|
)…ϕ(e |
|
) |
! |
|
|
|
|||
% |
2 |
n |
! |
= … … …! – |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
… an ! |
|||||
|
% |
… … … … |
|
! a1 |
|||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
" |
|
% |
n |
n |
матрица оператора ϕ в некотором базисе e1, …, en. Столбцы матрицы представляют собой координатную запись образов базисных векторов. Если известны векторы ϕ(e1), …, ϕ(en), то известно, куда отображается любой вектор x. Действительно, пусть
x = x1e1 + … + xnen – разложение вектора x по базису e1, …, en;
ϕ(x) = ϕ(x1e1 + … + xnen) = x1ϕ(e1) + … + xnϕ(en) =