БАКАЛАВРЕАТ-1+лох

( ), 1 -1- – 2011

-1

1 , 2011 .

1. . N, Z, Q (m / n -

), (≠ m/n ),

R. . : |a±b|≤|a|+|b|, |ab|=|a||b|, |a/b|=|a|/|b|. |x1 – x2|. [a,b], (a,b], (–∞, b], (a,+∞) . . , ! , Oδ ( x0 ) . -

. – ∞, +∞, ∞.

. " -

( # ;

).

2. $ . , $ , % D -

; D % $ -

. $ % .

", = + . &

, , '(. ) $ . (* $ (+ )!)

$ $ , , ( , )

% {x D, y = f(x)}. - $- :

y = kx + b, y = ax 2	+ bx + c, y = x n , y = a x , y = log n | x |, y = Sinx, y = Cosx
	.
y = tgx, y = ctgx,	y = arcsin x, y = arctgx, y =| x |, y = Sgnx, y = [x]
3. - $ :
) ( ( $ # ., .), $ , % Y.

) – « », « » (% -

% % - ). * $ , -

. . =1/ !!!

) (,, , ), , -

. , , , / -

.

)& 0& 1. * , $

/ . ' -2 .

2: / , , $ ? ( tgx = Sinx/ osx). 2: y = Sinx , y = x2 R, , – .

) , . y = Sinx + Sinπx .) $ . : $ y = f(x), x D, y E

f(x) = y # x = g(y) % y E . ) / -

$ $ y = f(x), x D, y E.

. $ , $ – / !

.

)& 0& 1. 2 $ %. 3 $ . (1'1 1. $ , %+ %.

4. $ .

.: x→ x0–0 , x→ x0+0 , x→ –∞ , x→+∞ . (" .

, ). 2 → 0→ ∞ . . =(–1)

1 Y: y=f(x)→ b , –∞ , +∞ .

( ), 1 -2- – 2011

		$ .
		. ' $
		lim f ( x ) = +∞ .
		x→a−0
	y	" , ( ., Y
		) , %+ .
		1 % -
		.
	x a	. → , -

; → ∞ ,

+∞ –∞ .

* , : ) , )+ -, ) # % → ∞.

(. , , % . &2"' 4& $ ( lim,

, ).

5. 5 # $ , .

( 0 ∞), ( $ ). -

.

*, , $ .

)&	0& 4 . . . . $ . - , (
1000 , ?).
)&	0& 1 . . . . %. 5 - .
)&	0& 1 . . $ . f(x)→A f(x)=A+α(x). 5 - .
→ ∞ :		4e x + 5	= 2 +	3		= 2+ . .
				2e x
		2e x + 1			+ 1

6. * , # , .

6 . , , m/n = 0,001.

/ , # ? 1 a/b=1000. * . . . . $ . #

f ( x) = o( g ( x)),

f (x)

g ( x),

x → x0 . ( : f(x) – 1718

% g(x) )

. *

x 2 , x 5 , x ,3 x x → 0; x → ∞

2 :

o( f ( x )) = f ( x )α( x ) .

" :

o( 1 ) = α( x ),

o( A B ) = A o( B ) !!!

y=x

9 .

y=lnx

" $ ,

ln A < A . " /,

ln x

=

ln xn / 2

2

= ( )( . .) ln x = o(xn );

xn

nxn / 2

xn / 2

xn

(lnn t) / a

1 lnt n

=

=

= ( . .) xn = o(eax )

eax

t

a t1/ n

)&

0& 1 . & f(x)→ 1 ≠ 0 → 0 ,

f(x)g(x) Ag(x) → 0 . '- .

)&

0& 1 , . f(x) + o(f(x)) f(x). '- .

( ), 1 -3- – 2011

0" & 1 "&. * , $

, $ , . . exp( f(x) + o(f(x)) ) exp( f(x)) !!!!!!!

. & f(x) = g(x) + o(g(x)) → 0 , $ g(x)

% $ f(x) ( ! ) → 0 ( ! 0).

. ,, , , $ .

		2 x + 7		1
	y =		, y = x 2 +		, y = x 2 + 1 . y x = 1000 ?
		( x + 1 )( x − 2 )		x

/ $ / . 7. * $ , %+ , .

)& 0& 1. :, %+ ,

/ , . ( ) . 5 . ' f(x)→2 x→ - ∞

)& 0& 1. & $ /

, / .

5 , $ %.

7 6")&7; 4. $ . *. , ,. '- +

)& 0& 1. & $ , $ , -

. $ %.

)& 0& 1 , ,. : $ %

.

lim

sin x

, lim

1 − cos x

, lim

tgx

= 1 . 2 ! .

x→0

x

x→0

x 2

x→0 x

1

2

lim(1 + α ) α = e . ( ).

α →0

"

ln( 1 + x )

e

nx

− 1

nx

nt

lim

= 1,

lim

= e

− 1 = t , = lim

= n,

ln( 1 + t )

x→0

x

x→0

x

t → 0

t →0

*.

n

t

nt

lim

( 1 + x )

− 1

=

1 + x = e

, = lim

e

− 1

t

= n

et − 1

x→0

x

t → 0

t →0

t

8. 1 $ .

#:

1) lim f ( x ) = b f ( x ) = b + α( x ) , x → x0 ;

x→ x0

2)f(x) α(x)=o(f(x)) , x → x0 .

→ 0 % $ ( ):

Sinx = x+ o(x), Cosx = 1+ x2/2 + o(x2 ),	tgx = x + o(x),
ln(1+x) = x + o(x), ex = 1 + x + o(x),	(1 + x)n = 1+nx+o(x) .

9. $ .

. : y = f(x) 0 ,

) / ,

) lim f ( x ) = f ( x0 ).

x→ x0

* 0121 *7&21. . 7 # !

,

( ), 1

-4-

– 2011

2. ' $ :

lim( x 2 + ln x ) = 4 + ln 2,	lim	sin x	=	sin 0	= ? .
x→2	x→0 x		0

' «+ ». . . ! " . 5 # =1/ .

' : 5

.

$ : $ ,

.

): y = x ! ( ).

10. , $,.

)& 0& 1 . '- . $ $ , -

,=2. , $ /

( $ )

)& 0& 1 , $ . '- . $ $ ,

,=2. f(2)>0. , f(x)>0

=2.

)& 0& 4 $, , $ . *$ -

, , $ % . 11 * $ . .

. D z & ( -z=g(x) D), z & y ( y = f(z) &). - , $ y=f(g(x)), x D. :-

f( ) – #, $ g( ) – .

< +: # -

" " : $ y = ln(–x2) +. * $ .

)& 0& 1 $ . $ y = f(g(x)) $ z=g(x) 0 , # $

f(z) %+ z0 = g(x0). ) $ -

0 .

5 * 21 "&. ' + . ) $ z=g(x)

( g(x)) + z. 1 $ y=f(z) (

f(z)) + . *, + % -

+ $ y=f(g(x)) , / ,

$ .

12. $ . .

$ # y = f(x) .

, $ .

$ , $ – / .

)& 0& 1 $ . y = f(x) -

( , b). ) / $ + $ , /

$ .

( ), 1

-5-

– 2011

'- : 1) +, . . , 2) , . .

$ , $ / . ",

# .

13. / , $ .

6)$ $ , / $ , -

, $ . «1 #: : -

	- ». 0	y =	1	, y = ln | x | , y = tgx
			x
	14. $ . (	!!!)

1 " 1 "&.	& $ y=f(x) = , + % -
	lim f ( x ) ,	lim f ( x ) f(a).
	x→a−0	x→a+0

0&'&7& "&. ) = , -

/ + % , $ / -

/ , $ + = .

. y=sgn2(x) ; y = sin x ; y = x − 1 .

x x − 1

. .

0&'&7& "&. ) = ( ),

+ % . 2 $

, .

. y=sgn(x) , y =	x 2	− 1
| x − 1|
( - $ ,		>f:=x–>piecewise(x<1,1-x,x-1); )

0&'&7& "&. ) = , ,

, +.

	π		1				1
. y = sin		, y	= exp		, y = ln | x | , y =			.
						x 2
	x		x				− 1
.$ .			0 1- 17& ; "=, 2- 5 7;9 = (2>1).
15. : .

0&'&7& "&. $

lim f ( x ) = f ( a ) . ) $ = . 1-

x→a+0

.

	:						exp( 1 / x ), x ≠ 0
					1 − x 2 ,
		y =	, y =
							y =	,
							0 ,	x = 0

0&'&7& "&. : y=f(x) [a, b], !

$ , %+ (a,f(a)) (b,f(b)) , #

. (. $ $ , [–1, 3]. * $ , , .

) # . $ y=f(x) [a,b]

, , . ) + (a,b) -

, f( c) = 0. (. % $% = . * - , ?

$ .

: =1/( –2) [1;3] , = sgnx–0,5 [0; 1]

( ), 1 -6- – 2011

1- 2&=&09)01**1. & $ f(x) [a,b],

/ . * $ .

. ) , )

2- 2&=&09)01**1. & $ y=f(x) [a,b], -

/ max u min. * $ .

. y=Sgn(x)–x , [–1; +1].

'"::&0& >"17; & "* "*7& "& :< >"" ' = &0& & =.

. $ y=f(x)

0.

) * + $ / y=f(x0+ x)–f(x0).

) / +	.
) #	/ → 0.

& / +, $ f(x) 0.

f’(x0). ", %

	) = lim	f ( x0 + x ) − f ( x0 )		= lim	y	= lim	f ( x ) − f ( x0	)
f ' ( x0									.
		x			x		x − x0
	x→0			x→0		x→ x0

. : y=f(x) . $$ 0, + f’(x0). (. " , $$

$ / . *, : S(t)– +, V(t)=S’(t)– .

% ( ). 1) = 0.

2) * $ =

y = ( x +

x )

n

− x

n

= x

n

( 1 +

x

)

n

− x

n

= x

n

( 1

+ n

x

+ o( x )) − x

n

…

x

x

*) : y = ln x, y = e x ,

y = Sinx .

)& 0& 1. & $ y=f(x) $$ 0 , /

.

'- : 1) '$$ 0. ( . - ).

	2) % +	y	→0. - , y →0 , .
		x

+ . *. / + % . /

+ Y, . . $ .

501) 18 )& 0& 1 : y =| x |,				y = 3 x 2 .
			< . – / , -
			+ ( .)
			2: ycek = y0 +	y		) → ykac	= f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0	) .
					( x − x0
				x

•, %+ 0 %, " / .

•'$$ $ $ .

•;

( ).	–		+
" ": /$$ , . . f’(x0) - / -
	+		–
.; , ,

( ), 1	-7-	– 2011
$ .
, , .
: ' % $
u(x+ x) – u(x) =	u u(x+ x) = u(x) +	u.

)& 0& 1. $ u(x), v(x) $$ . ) , , -

$$ ,,

(u+v)’=u’+v’,	(uv)’=u’v+v’u, (u/v)’=(u’v–v’u)/v2 .
2 , v(x)≠0 .
'- .
: (tgx)’ ,	(ctgx)’ .

$ y=f(z), z=g(x).

). $ z=g(x) $$ 0 , #

$ y=f(z) $$ %+ z0=g(x0). )

$ y=f(g(x)) $$ 0 / /

y’=f’(z0) g’(x0) .

'- : ' 0 + . ) $ +

z=g(x0+

x)–g(x0), # $ +

y=f(x0+ z)–f(z0). ). . g(x)

$$ , , / z→0

x→0. ' -

%

y' = lim

y

= lim

y

z

= lim

y

lim

z

= y' z' = f’(z0) g’(x0).

x→0

x x→0

z

x z→0

z x→0

x

- , $ -

0 x % + z → 0 , + !

.

y = Cosx = Sin( π / 2 + x ) y' = Cos( π / 2 + x ) 1 = −Sinx.

y = arctgx tgy = x; −	π	≤ y ≤	π		y'		= 1 y' ( 1 + tg 2 y ) y' =	1	.
					cos 2
2		2				y		x 2 + 1

$ . ). & $ = ( ) $$

0, $ = ( ) $$ - %+ 0 / y’(x0) x’(y0)=1.

'- : & $ , $ , . . / ( . .). *

	y’(x0)=tgα ,		x’(y0)=tgβ=tg(π/2−α)=ctgα. .
% y’(x0) x’(y0)= tgα ctgα=1.
			7 $ .
) . & $ y=f(x) $$ -
0 ,
$ (1:7)								α
f ( x ) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 ), x → x0 .								β
'- : % + , . .
lim	f ( x) − f ( x0 )		= f ' ( x0 )	f ( x) − f ( x0 )	= f ' ( x0 )	+ α ( x),
	x − x0			x − x0
x→ x0

x → x0 , . .

…

( ), 1 -8- – 2011

		1:7. $
		“Y” = %, “Y” = %#, # = ( – 0),
		→ 0.
		& – / %
		$ f(x) % $% f(x0)+f’(x0)(x–x0)
		( (x–x0) ).
0

: $

x ≈ 3 + 1 ( x − 9 ) , ≈ 9, , = 10.

6

# f(x) = 0. , ( %).

0 – # . / %

f(x) = 0 # f(x0)+f’(x0))x–x0)=0.
2 $ %	xn+1	= xn	−	f ( xn	)	.
				f ' ( xn )

%.

. f(x) = x2 – 2 .

'$$ $ .

. $ y=f(x) $$ . ) $$

$ y=f(x) [x, x+ x] dy=f’(x)					x.
. '$$ , –
	.					o( x)
(	d(…)=(…)’ x. 2 2 , . "
# dx=				x, -
						dy
% y' =		dy		( -
		dx
dy dx). $$ –					0	0+
+ ( .
.).

( 1:7 $$ . # $ .

$ y=f(x) $$ 0. ) 1:7 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x–x0)+o(x–x0), x–x0 →0.

( % , ,0+	,.
= dy + o(	x), x→ 0 ( . .)

, x y ≈ dy.

- # $ .

y = x 2 + x 3 , x = 2 ± h;

.

y = 10 x , x = 4 ± 0,01

# , .

. $ =f(x) $$ (a,b). ) /

$ y=f’(x). / $ ( +-) , $ f’’(x).

" $ .

1./ ( ).

2.) :. 0 – / $ y=f(x) f(x) $$ -

/ . ) f’(x0)=0.

': / .

. = 4 3 – 3 4.

. 7 f’(x0)=0 0

( ), 1	-9-	– 2011
+.
) :: -*)0 0"). )	1.	! ( = 3)
(1'1 1		5 >& &.

[a, b] $ y = f(x). ) 1- 2- # / ! # ! # ,. . + % x1, x2 [a, b] , f(x1)=m, f(x2)=M /

m ≤ f(x) ≤ M % , [a, b]. - -

) = >& = $ .

0 # . $ y = f(x) [a, b]$$ , , , . # $

, :

/ . 1, # -

.

012"7 . 1, 2, 3 $ , + [a, b]

f(a), f(x1), f(x2), f(x3), f(b) # m # M. (-

% .

. = 3x4+4x3–12x2, x [–1, 1] . : –2 , 0 , 1

( f(–1)=–13; f(0)=0; f(1)=–5. m=–13, M=0. *, [–1, 1]

$ : –13 ≤ f(x) ≤ 0.

f(b)

f(a)

a

c

b

)& 0& 1 71 01 61 ( +). & f(x) [a,b] $$ (a,b), + (a,b) , + $

f(b)–f(a)=f’(c)(b–a).

'- : : % % %, - %+ % A(a,f(a)) B(b,f(b)).

= , , 12. <

, , /

tgα = f ' ( c ) = f ( b ) − f ( a ) . b − a

f(b)–f(a)=f’(c)(b–a). * $ : «' "

" " ».

' .

)& 0& 1. f(x) $$ ( , , ) (a,b)

! / ( ). ) f(x)

( ) / .

'- : % [x1,x2] (a,b) % 7 , / f(x2)–f(x1)=f’(c)(x2–x1). % , -

.

' / .

)& 0& 1. f(x) $$ ,0

/ , ,0 %

( %). ) ,0

f ‘>0		f ‘<0		( ).
				'- : f(x0)–f(x)=f’(c)(x0–x)>0;
	0
					f(x0)–f(x)=f’(c)(x0–x)>0;

) , f(x0)>f(x), . . .

1 .

. y= 6ln|x|+x2 –8x.

( ), 1

-10-

– 2011

) /

1. 2 a , b -

+.

) 2 (# ).

) * , , +

$% .

) " / $% /.

2.. &! # a, , – b. *

/ # .

3." % 1 % . -

1, 3 . ( ≈ 600)

! 0 .

0

: 0/5 6/0 – % !!!!

012"7 7 ")178

f(x), g(x) $$ 0 + % / , -

g ‘( 0 ) ≠ 0. )

lim

f ( x)

=

0

= lim

f ' ( x)

g ( x)

g ' ( x)

x→ x

0

0

x→ x

0

«'- »: lim

f ( x)

= lim

f (x0 ) + f ' ( x0 )(x − x0 )

=

f ' ( x0 )

= lim

f ' ( x)

g( x)

g (x0 ) + g ' ( x0 )(x − x0 )

g ' ( x0 )

g' ( x)

x→ x0

x

→ x0

x→x0

x3 +

− 2

e x − 1 − x

e x − 1

0

.

lim

x

;

lim

= lim

=

= ?

x→1 x 2 + 2

x − 3

x→0

1 − Cosx

x→0

Sinx

0

012"7

7

")178

.

lim

ln Cosx

= ... = −

1

.

lim

x − Sinx

.

x→0

x 2

2

x→0

x 3

! 1. 7 , → ± ∞.

lim ( 2 x arctgx − πx ) = lim		2arctgx − π	=	0	= ...
x→+∞	x→+∞ ( 1 / x )		0

! 2. 7 ! 0 ,

					0
!	∞	.
	∞
– # lim			e x	,	lim	ln	x		. / . ( -
		x→+∞ x 2			x→+∞ x

« - ».

: 0 <71 )&=7 01.

. $ f(x) n $$ 0. )

) n- $ f(x) 0

T ( x ) = f ( x

) +

f ' ( x0 )

( x − x

) +

f ' ' ( x0 )

( x − x

)2 + ... +

f ( n ) ( x0 )

( x − x

)n .

0

0

0

0

n

1!

2!

n!

. f(x)=2x2+3x+4, 0=1, (2( ). 2: ' ' ( )=( ( ). '

, $ / .

. Sinx ≠ x – x3/6.