НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Найдем параметры системы, при которых достигается минимум импеданса. В этом случае смещения от положения равновесия будут максимальны:

	d	(ω		z		) =	d	ω [α2 +(ω m − K /ω)2 ]1/ 2 = 0
	dω						dω

2ω [α2 + 2m(ω2m − K)] = 0 .

Отсюда: либо ω = 0 , либо α2 + 2m(ω2m − K ) = 0 , но ω не может быть равной 0, так как это характеризует отсутствие движения. По времени наступило состояние вынужденных колебаний, когда собственные колебания

полностью затухли:

ω2

= K −

α2

= ω2 −

α2

. Следовательно, резонанс смещения наступает при частоте

2m2

2m2

1

m

0

ω2

= ω

1 −

α2

меньшей чем ω

. Если α

мало или m велико, то ω ≈ω

и частота резонанса одна и та

2m2ω02

1

0

0

1

0

же. Максимальное значение смещения при этом определяется формулой x

MAX

=

F0

.

ω α

1

Рис. 12.

На рис. 12 приведена зависимость смещения x от ω при разных значениях α . При малых α амплитуда
									α
смещения велика. Так как амплитуда есть A = A e−										t , то энергия уменьшается как квадрат этой величины:
									2m
						0
	α		α				α
A2 = A2e−		t 2	= A2e−m t или:	E = E		e−		t 2 . Время, необходимое для уменьшения энергии в e раз равна
	2m				0		2m
0			0
t = m секунд. За это время фаза осциллятора изменится на											ωm радиан.
α											α

Определим добротность системы Q =ωm /α , как число радиан, на которое изменяется фаза системы с

затуханием при уменьшении энергии колебаний в e раз. Обычно Q велико и является постоянной величиной. Можно сказать иначе: добротность есть число периодов, которое необходимо для уменьшения энергии системы в e раз.

1.2.5.Диссипация энергии.

Найдем производную от полной энергии:

dE

=

d

1

&

2

+

1

Kx

2

& &&

&&

&

&&

&

dt

2

mx

2

= x(mx

+ Kx),но mx

+αx + Kx = 0 отсюда

mx

+ Kx = −αx , подставим и

dt

получим, что скорость потери энергии dEdt = −αx&2 , то есть эта скорость равна работе, совершаемой системой против силы трения за единицу времени.

Сводка основных результатов.

Энергия: 12 mx&2 + 12 Kx2 = 12 ma2ω2 = 12 Ka2 = const.

14

m&x&+αx& + Kx = F0eiωt

m&x&+αx& + Kx = F0 cosωt

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

K = a sin(nδ / 2) ;α = (n −1)δ / 2 - сложение n колебаний с постоянным сдвигом фаз на δ <<1. sinδ / 2

Логарифмический декремент затухания:

δ = 2αmt

Постоянная времени: t = 2αm .

Добротность: Q = mαω .

Потеря энергии: E& = −αx&2 .

Амплитуда – максимальное смещение из положения равновесия. Квадрат частоты – это сила приходящаяся на единицу массы и единицу смещения.

3 Вынужденные колебания.

3.1 Импеданс механической системы.

Механический импеданс определяется как сила, необходимая для, того, чтобы сообщить осциллятору единичную скорость, то есть Z = F / v или F = v Z .

Из свойств колебаний, вспомним, что между силой и скоростью движения существует разность фаз, поэтому импеданс можно записать в виде:

Z=α + i ωm − k =α + iX

ω

Z =					Z		eiϕ tgϕ =	x
								α
	Z		= [α2 + (ωm − k /ω)2							]1/ 2

α - сопротивление движению.

Перейдем теперь непосредственно к анализу вынужденного колебания. Пусть к осциллятору приложена переменная сила F = F0 cosωt , где F0 - амплитуда этой силы, ω - частота ее изменения.

Механическое уравнение движения (динамический баланс сил) имеет вид:

. Как известно, решение этого уравнения состоит из двух частей. Одна часть –

“нестационарный член”, который затухает со временем и является решением однородного уравнения свободных затухающих колебаний. Вторая часть - “стационарный” член, который описывает поведение осциллятора после затухания нестационарного члена.

Перепишем уравнение в другом виде:

Решаем его, для чего выберем функцию вида: x = Aeiωt , где величина A может быть комплексной, то есть может иметь компоненты, которые находятся в фазе и в противофазе действующей силы F . Подставляем в уравнение: (−Amω2 + iαωA + A K)eiωt = F0eiωt и находим, что

	A =		F0				F0			F0
				=				=
		K + iαω − mω2				iαω + (K − mω2 )			iαω + m(ω02 −ω2 )
	Отсюда решение имеет вид:
	x =		F		eiωt =		− iF eiωt			=	− iF eiωt
			0				0				0
			iα + m(ω02 −ω2 )				w[α − i(ωm − K / ω)]
											ωZ

Где: Z =α −i(ωm − K /ω) . Далее преобразуя Z как Z eiϕ

15

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

tgϕ = −	ωm + K /ω	тогда x = −	iF ei(ωt −ϕ )					Z		= α2 + (ωm − K / ω)2 Теперь можно легко видеть,
	α		0	Z		ω	при

что:

1). Существует разность фаз между смещением x и силой F в следствие наличия реактивной части

импеданса Z , содержащего мнимый множитель i = −1 .

2). Существует дополнительная разность фаз, кроме ϕ , между силой F и смещением (множитель −i в

числителе амплитуды), которая равна −π / 2 , то есть смещение x отстает по фазе на 900 от силы, даже в случае

ϕ = 0.

3). Максимальная амплитуда смещения x =					F0		.
					ω	Z
Итак: x =	F0			sin(ωt −ϕ) .
	ω	Z

&

:

Скорость стационарного колебания x найдем, продифференцировав функцию смещения x

−iF0

i(ωt −ϕ)

F0

i(ωt −ϕ)

&

e

=

e

замечаем, что:

Z

Z

x = v = iω ω

1.Разность фаз между скоростью и силой равна только ϕ .

2.Амплитуда скорости равна F0 / Z , записывая в привычном виде, находим, что

v= FZ0 cos(ωt −ϕ) - скорость всегда опережает смещение по фазе на π / 2 .

Амплитуда скорости равна:
	F0			=	F0	=	F0	, то есть изменяется в зависимости от ω . На
					α2 + (ωm − K / ω)2		α2 +ω2m2 (1 −ω02 / ω2 )2
		Z

низких частотах главный вклад имеет энергия, передавая осцилятору внешней силой.

Для поддержания стационарных колебаний системы, внешняя сила должна возместить энергию, рассеиваемую за каждый период из-за наличия сопротивления. В стационарном состоянии амплитуда и фаза маятника устанавливаются таким образом, чтобы средняя энергия, передаваемая внешней силой за единицу времени, точно равнялась средней энергии, теряемой маятником за этот же промежуток времени.

3.2. Мгновенная мощность Р, развиваемая осциллятором.

Мощность, передаваемая осциллятору, равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость:

P = F0 cosωt F0 cos(ωt −ϕ) = F02 cosωt cos(ωt −ϕ)

Z Z

Средняя мощность – есть сумма мгновенных мощностей за период деленная на этот период:

T

∫Pdt

T

F 2

P

=

0

= ∫

0

cosωt cos(ωt −ϕ)dt /T =

T

Zm

0

F 2

T

T

F 2

=

0

∫cos2 ωt cosϕ dt + ∫cosωt sinωt sinϕ dt =

0

cosϕ.

Z

T

2

Z

0

0

T

1

T

т.к.

∫cos2 ωt dt =

; а ∫cosωt sinωt dt = 0.

0

2

0

Энергия не накапливается в системе, а диссипируется за счет работы против силы трения FTP =αx& . Работа, совершаемая силой трения в единицу времени против FTP равна:

16

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

2

F 2

2

(ωt −ϕ) . Опять усредним это выражение за период T и получим,

&

&

&

0

(αx)x =αx

=α

Z

2 cos

F 2

α

чтоP =

cosϕ , здесь

= cosϕ .

0

Z

2

Z

3.3. Зависимость PCP

от

ω

и резонансная кривая поглощения.

F 2

P =

cosϕ - проходит через

max при ϕ = 0 и cosϕ =1. В этом случае ωm − K /ω = 0 , или

0

2

Z

ω2m = K →ω2

=ω02 . Сила и скорость находятся в фазе, а импеданс Z принимает свое минимальное значение

Z

=α . Следовательно и

= F 2 / 2α . Кривая зависимости

от ω представлена на рис.13.

min

P

P

0

Рис. 13.

Она характеризует реакцию осциллятора на действие внешней силы. Острота тех функций P определяется величиной коэффициента затухания α . Запишем P :

αF 2

1

1

F 2

= 2α2

, когда α2 + x

2

2α2 или x

2

P =

0

=

P

=

0

, когда

Z

m

=

m

= ωm − K /ω = ±α .

2

Z

2

max

2 2α

Если ω

2

> ω , то имеем: ω1m − K /ω2 =α

исключаем K .

1

ω2m − K /ω1 = −α

K = (ω

2

m −α)ω

, ω m − ω2

(ω

m −α) = −α , m(ω

2

−ω ) = 2α .

2

1

ω

2

1

1

ω

2m −ω2m +αω

2

+αω = 0 . m(ω

2 −ω

2 ) −α(ω

2

+ω

1

) = 0 .

1

2

1

2

1

(ω

2

−ω

1

)(ω

2

+ ω

1

) =

α (ω

2

+ ω )

. ω

2

−ω =α / m .

m

1

Теперь вспомним, что добротность системы, колеблющейся под действием внешней силы,

записывается в виде

Q =

ω0

подставим полученное выражение и получим, что Q = mω0 .

ω

−ω

1

α

2

Частоты ω =ω

−

α

и ω

=ω

+

α

Отмечены на графике. Они соответствуют величине

0

2

0

1

2m

2m

половинной максимальной мощности, отбираемой осциллятором. Разность частот в этом случае

ω2 −ω1 =

ω называется “шириной частотной полосы поглощения”.

3.4. Сводка основных результатов.

1. Механический импеданс Z = Fv (сила на единицу скорости).

17

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Z =α + i(ωm − K /ω)				Z		=		α2 + (ωm − K /ω)2 фазовый угол между скоростью и силой:
sinϕ =	ωm − K /ω	;cosϕ =					α	;tgϕ =	ωm − K /ω .
	Z						Z		2

2.Стационарные значения смещений x = −i ωFZ0 ei (ωt −ϕ ) = ωFZ0 sin(ωt −ϕ) .

&

F0

e

i(ωt −ϕ)

F0

cos(ωt −ϕ) .

скорости

x =

=

Z

Z

3.

Максимальная сорость v

max

=

F0

при ω =ω

0

- частота резонанса.

α

Максимальное смещение x

=

F

, где ω

=

K

−

α2

4.

max

0

частота резонанса смещения

ω α

m

4m2

1

1

ω

= ω

2

−

α2

.

4m2

1

0

5.Энергия поглощается в единицу времени:

P= F02 cosϕ. ( cosϕ - коэффициент мощности)

2Z

P

F 2

K / m .

=

0

на частоте ω

0

=

max

2α

F

2

и состветствует частотам ω =ω

−

α

и ω

=ω

+

α

Половина поглащаемой энергии равна

0

0

2

0

.

4α

1

2m

2m

Добротность Q = ω0m

ω0

6.

=

.

ω

α

2

−ω

1

Глава II. Система маятников, связанных между собой, и волновое движение

В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос: как ведет себя колеблющаяся система, взятая отдельно, независимо от других. Реально же, осцилляторы крайне редко, как правило, это искусственно созданные условия, находятся в полной изоляции. В общем случае отдельные осцилляторы связаны между собой общим элементом. Иногда явно, как например пружина и т.д. Связь через массу или неидеальную упругость неизбежно приводит к потере энергии и быстрому затуханию колебаний.

Рассмотрим пример механической связи двух маятников через жесткость.

2.1.Осцилляторы связанные через жесткость.

Рис. 14

На рис.14 изображены два отдельных маятника совершенно одинаковой массой m , подвешенные на легком жестком и невесомом стержне длины l . Они соединены пружиной с коэффициентом жесткости K . Обозначим смещение элементов системы через x и y , и найдем уравнение для каждого из них:

18

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

m&x& = −mg xl − K(x − y)

Кроме обычных членов, соответствующих гармоническим колебаниям m&y& = −mg y + K(x − y)

l

(mg x / l) уравнения содержат и связь вида K(x − y) , обусловленную наличием пружины жесткостью K . При этом возможны три случая:

Первый - x > y . Пружина растянута больше своей нормы K(x − y) > 0 . Пружина уменьшает ускорение &x&, но одновременно увеличивает &y&.

Второй

- x < 0 . Член K(x − y) < 0 и следствия для смещений x и y

&&

меняются местами: x -

&&

увеличивается, y - уменьшается.

Наконец, Третий -

x = y . При этом уравнения для x и y одинаковы и ситема движется как один

маятник.

= g / l - собственную частоту колебаний каждого маятника, тогда:

Запишем ω0

&&

2

K

(x

&&

2

K

x

+ω0 x = −

m

− y)

x

+ω0 x = −

m

(x − y)

или

.

K

K

y

2

y =

(x − y)

y

2

y = −

+ω0

+ω0

( y − x)

&&

m

&&

m

Выберем новые координаты x = x + y и y = x − y , и сложим уравнения:

&&

&&

2

+ y) = −

K

x +

K

y −

K

y +

K

x = 0

&&

2

x

+ y

+ω0 (x

m

m

m

m

или x

+ω0 x = 0 .

Теперь вычтем из первого второе уравнение:

&x&− &y&+ω02 (x − y) = − Km x + Km y + Km y − Km x = (&x&− &y&) +ω02 (x − y) = 2 Km (x − y) &y&+ (ω02 + 2 mK ) y = 0 .

То есть, связанные колебания описываются двумя уравнениями, каждое из которых удовлетворяет условиям гармоничности. Введем понятия нормальных координат и мод колебаний.

a). Нормальные координаты – это такие, в которых уравнения движения записываются в виде системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащими только одну зависимую переменную (в нашем случае x или y ).

b). Колебания описываемые только одной зависимой переменной называются нормальными модами и характеризуются одной своей собственной частотой.

c). Полная энергия колебаний представляет собой сумму квадратов нормальных координат и скоростей ( первых производных нормальных координат по времени) умноженных на постоянные коэффициенты. Если происходят колебания всех мод, то энергия системы выражается через квадраты скоростей и смещения всех мод.

d). Нормальные моды колебаний независимы. Если возбуждена одна из мод, то других не будет, так как нет обмена энергией между ними.

e). Каждый независимый путь, по которому система может получать энергию, называется степенью свободы. С каждой степенью свободы связана своя нормальная мода и нормальная координата. Каждый гармонический осциллятор имеет две степени свободы, так как может получать энергию двумя путями

(потенциальную – изменением координаты x и кинетическую – изменением скорости x&). В нашем случае, энергии будут записаны двумя уравнениями:

Ex = ax&2 + bx и Ey = cy&2 + dy2 , здесь a, b, c, d - постоянные. Следовательно, наша система из двух

связанных маятников имеет четыре степени свободы и четыре нормальные координаты. Любое состояние системы может быть представлено суперпозицией двух мод:

x = x + y = x0 cos(ω1t +ϕ1 ) x0 , y0 - амплитуды нормальных мод, ω1,ω2 - частоты колебаний и ϕ1 ,ϕ2 - y = x − y = x0 cos(ω2t +ϕ2 )

фазы.

Положим: x0 = y0 = 2a,ϕ1 = ϕ2 = 0 . Тогда из уравнений x = 12 (x + y) = a cosω1t + a cosω2t.

y = 12 (x − y) = a cosω1t − a cosω2t.

19

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Отсюда и их скорость:

x& = −aω1 sinω1t − aω2 sinω2t. y& = −aω1 sinω1t + aω2 sinω2t.

Приведем систему в движение, сместив один маятник из положения равновесия на 2a n отпустим оба тела в момент времени t = 0 при условии &x& = &y& = 0 . Это начальное смещение можно рассматривать как суперпозицию синфазной моды x = y = a , поэтому x + y = 2a и противофазной моды x = −y = a , поэтому y = 2a . Движение первого маятника описывается формулой:

x = a cosω t + acosω		t = 2acos	(ω2 −ω1 )t		cos	(ω2 +ω1 )t		.
1	2	2				2
второго y = a cosω1t − a cosω2t = −2a sin				(ω2		−ω1 )t	sin		(ω2	+ω1 )t	.
						2				2

Если поставить кривые зависимости движения от времени, то увидим процесс под названием биения рис. 15. Первое тело передает энергию второму телу и далее наоборот. Такой полный обмен энергии возможен только

тогда, когда обе массы одинаковы и отношение ω1 +ω2 равно целому числу. В противном случае ни одно из тел

ω2 −ω1

не будет неподвижным. Очень важно, что хотя отдельные маятники обмениваются энергией, но обмен между нормальными модами отсутствует. Так как частота моды Y выше, чем моды X , то через несколько колебаний

мода Y опередит колебания моды X на половину радиуса (по фазе на π радиан). В этом случае сложение мод X и Y даст для y = 2a , а x = 0 . Когда мода Y опередит моду X еще на половину периода (по фазе на 2π радиан) сложение колебаний даст x = 2a , а для y = 0 . Маятники обменяются энергией, а моды - нет.

Общий метод вычисления частот нормальных мод колебаний.

Результатом предыдущего параграфа является важное утверждение о том, что если в системе возбуждены колебания только одной моды, то каждый компонент системы будет колебаться с частотой именно этой моды. На этом утверждении и основан метод поиска и определения частот нормальных мод и амплитуд колебаний отдельных осцилляторов на каждой частоте.

По этой причине положим следующее: наша система, состоящая из двух маятников, совершает колебания только одной моды, соответствующее только одной частоте ω . В этом случае мы можем искать решение уравнений:

m&x&+ mg( xl ) = −K(x − y)

m&y&+ mg( xl ) = K(x − y)

в следующем виде: x = Acosωt и y = B cosωt , где A и B - амплитуды смещений x и y на частоте ω . Подставляя в уравнения и делая преобразования, находим:

[−mω2 A + mgl A + K( A − B)]cosωt = 0. сделаем сумму и разность этих уравнений:

[−mω2 B + mgl B − K( A − B)]cosωt = 0. Сумма (A + B)(−mω2 + mg / l) = 0.

Разность (A − B)(−mω2 + mg / l + 2K ) = 0.

20

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Первое уравнение удовлетворяется при условии − mω2 + mg / l = 0. и ω2 = g / l - собственная частота свободных колебаний.

Второе уравнение удовлетворяется при − mω2 + mg / l + 2K = 0 , отсюда ω2 = gl + 2 mK .

Подставляя теперь ω = g / l в оба уравнения, получаем:

Из первого [−m gl A + mgl A + K( A − B)]cosωt = 0. cosωt ≠ 0.

Тогда K(A − B) = 0. и A = B. Первая мода колебаний условие одинаковых фаз.

Теперь ω2 = gl + 2 mK .

[−m gl A − 2KA + mgl A + K( A − B)]cos( gl + 2 mK )t = 0. A = B.

[−m gl B −2m Km B + mgl B − KA + KB)]cos( gl + 2 Km )t = 0. и A = −B. Вторая мода колебаний – условие

противофаз.

Мы выбрали простую форму для смещений вида x = Acosω и y = B cosωt благодаря тому, что

система началá движение из состояния покоя при t = 0 . Если же маятники при t = 0 имели некоторую начальную скорость, то в соответствии с начальными условиями смещения должны быть записаны в следующем виде:

x = Acos(ωt +ϕ) и y = B cos(ωt +ϕ) . Теперь каждой моде колебаний с частотой ωi соответствует свое значение ϕ , в связи с чем возрастает и число подгоночных констант (вместо 2) для того, чтобы решения

удовлетворяли произвольным начальным смещениям и скоростям маятников. Невесомая струна.

Другим примером связанных в систему маятников служит нагруженная струна. Рассмотрим невесомую струну, по всей длине которой на одинаковом расстоянии l друг от друга закреплено N одинаковых тел с массой m . Оба конца струны закреплены, а полна длина ее L = (N +1)l . Существует и постоянное натяжение струны T .

Рис. 16.

Массы m могут совершать малые колебания только в одной плоскости. Найдем частоты и смещения каждого тела. Задача сформулирована Лагранжем. На рис. 16 показано смещение i-го тела по отношению к i-1 и i+1 (двух соседних с ним). Уравнение движения i-го тела напишем рассматривая последовательно натяжение слева и справа от него, направленные в сторону равновесия т.е. вниз.

Слева T sin Θ

, и справа

T sin Θ

, но

sin Θ =

yi − yi−1

;sin Θ

2

=

yi − yi+1

. Следовательно

1

l

l

1

2

второй закон Ньютона в этом случае примет вид: ma = −T (sin Θ + sin Θ

2

) = −T (

yi − yi−1

+

yi − yi+1

) или

1

l

l

T

&&

= −

( yi−1 − 2 yi

+ yi+1 ) . Если временна зависимость i-того смещения от времени является гармонической,

myi

l

e jωt , где a

то смещения y

можем записать в виде: y

i

= a

- max смешения m , аналогично для тел

i

i

i

i

m

y

i−1

= a

i−1

e jωt и y

i+!

= a

i+1

e jωt . Подставляя −ω2 Aie jωt =

T

(a

i−1

− 2a

i

+ a

i+1

)e jωt

или

i−1

me

21

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

− ai−1 + (2 − mlTω2 )ai − ai+1 = 0 . Это основное уравнение движения i-той массы относительно ее соседней mi−1 и mi+1 .

Теперь надо выписать всю систему уравнений подобного типа, начав с массы за номером 1 и до номера N,

двигаясь вдоль струны. Но на концах y0

= 0 и yN +1 = an+1

= 0 .

Получим следующие уравнения:

N =1

(2 − mlω

2

) a1 −a2 = 0

(a0 = 0)

Имеем систему изn уравнений,

T

mlω

2

N = 2

−a

+(2 −

−a

= 0

решив которую можно найти

) a

2

3

1

T

N различных значений ω2 ,

mlω

2

N = 3

−a2

+(2 −

) a3 −a4 = 0

T

причем каждое из них будет

..............................................................................................

частотой некоторого своего

N = N −aN −1 +(2 − mlω2 ) aN = 0

(aN +1 = 0)

колебания.

T

Число таких мод будет равно числу тел. Решение такой системы основано на теории матриц. Здесь мы рассмотрим самые простые случаи, когда N =1 и 2 и попробуем показать какой вид должно иметь общее решение системы.

Если N =1 . То L = 2l и тело одно, и уравнение будет для i =1, т.е.

Рис.17.

(2 −

mlω2

)a = 0 , а форма движения тоже только одна. a

≠ 0 и получаем,

mlω2

= 2 и ω

2

=

2T

i=1

T

1

1

T

me

ωi=1 =

2T

так как a0 , a2

= 0 - концы закреплены. Рис. 14.

me

i = 2 .

Теперь i = 2 . L = l + l + l = 3l , количество грузов 2. a0 , a3

= 0 . Уравнений будет два для i = 1 и

2

(2 − mlω

)a1 − a2 = 0

Решаем систему, исключив a1 ,

a1 = (2

−

mlω

2

T

)a2 .

+ (2 − mlω2 )a

T

− a

2

= 0

mlω

2

2

mlω

2

2

1

T

(2 −

)

a2 − a2 = 0

a2[1−(2 −

)

] = 0 , но a2 ≠ 0 и

T

T

22

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

1 − (2 −

mlω2

)

2

= 0.т.е.

T

mlω2

mlω2

mlω2

3T

mlω

2

[1 +

(2 −

)][1 − (2 −

)] = 0 или 3 −

=

0 и ω1 =

; 1

− 2 +

= 0 . Отсюда:

T

T

T

ml

T

mω

2

=1и ω

2

=

T

. Получим две различных моды колебаний. ω

2

=

T

и ω

2

=

3T

. Подставим ω , в

1

2

T

ml

ml

ml

1

уравнение для i =1 и i = 2 . (2 − mlT )a

− a

2

= 0,

a

= a

2

.Это медленное синфазное движение грузов, вид

Tml

1

1

которого представлен на рис.

− a + (2 − Tml )a

= 0 ,

a

= a

, подставив сюда же ω =ω

2

получим:

1

3mlT

Tml

2

1

2

(2 −

)a

− a

2

= 0,

a

= −a

2

- противофазное движение грузов вида:

Tml

1

1

Т.е. более быстрое колебание. Рис.16.

Обобщим наши результаты, для чего перепишем полученное уравнение в виде:

− ai−1 + (2 +

mlω2

)ai − ai+1

= 0 как −

a

i−1

+ a

i+1

= −(2 +

mlω

2

);

T

ai

T

2T

2T

2

2

2

2

ai−1

+ai+1

2T +mlω2

2Tml + m2l 2ω2

m

l

(

+ω

)

(

+

ω

)

2ω02 +

ω2

=

=

=

ml

=

ml

=

,

ai

T

mlT

mlT

T / ml

ω02

где ω02 = mlT .

Видим, что праваячасть уравнения не зависит от i , поэтому оно справедливо при любых значениях i . Пусть мы можем записать смещение mi в виде:

ai = C sin iϕS , где C = const , ϕS - некоторый постоянный угол при данном ωS , тогда подставляя в уравнение будем иметь:

ai−1 + ai+1

=

C sin(i −1)ϕS

+ C sin(i +1)ϕS

=

ai

C sin iϕS

=

sin iϕS cosϕS − cosiϕS sinϕS

+ sin iϕS cosϕS

+ cosiϕS sinϕS

=

sin iϕS

= 2sin iϕS cosϕS = 2 cosϕS - и это также константа, не зависит от i .

sin iϕS

Угол ϕS можно найти из граничных условий:

a0 = aN +1 = 0 , так как a0

= C sin 0 = 0 .

aN +1 = C sin(N +1)ϕS

= 0 , если (N +1)ϕS

= sπ; s =1,2,... ϕS = s

π

и следовательно

N +1

sπ

ai = C sin iϕS

= C sin

i - есть амплитуда смещения i-го тела при фиксированной частотеω0 .

N +

1

a

i−1

+a

i+1

=

2ω2

−ω

S

2

= 2cosϕ

= 2cos

sπ

отсюда: 2ω2

−ω

2

= 2ω2 cos

sπ

Запишем далее:

0

S

S

и

ai

ω02

N

+1

N +1

0

0

ωS 2 = 2ω02 (1 − cos

sπ

) , где s =1,2,...,а ω02 =

T

.

N +1

ml

isπ

Теперь для каждой частоты амплитуда смещения i-го тела имеет вид: ai = C sin

C -постоянная.

N +1

23