НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

эллипса поляризации волны. В завершение изучения такого интересного явления, как поляризация волн, вернемся к нашим начальным утверждениям о том, что существуют среды, в которых скорость распространения волн зависит от их состояния поляризации. Это явление в физике волн носит название двойного лучепреломления в среде, где имеются две плоскости взаимно перпендикулярные. Одна плоскость более высокой фазовой скорости, а другая соответственно – более низкой. Мы видим, что волну, поляризованную по кругу можно рассматривать как

состоящую из двух линейно поляризованных волн со сдвигом фаз на ±π / 2 . Точно также любую линейно поляризованную волну в плоскости между плоскостями большой и малой скорости можно рассматривать как сумму двух составляющих: вертикально и горизонтально поляризованных волн. Но вместе с тем, при одновременном распространении по такой среде их относительная фаза непрерывно меняется. Это ведет к поразительным результатам.

Предположим, что мы в такой среде произвели возбуждение линейно – поляризованной волны в плоскости

наклоненной под углом 450 к плоскостям максимальной и минимальной скоростей. Это значит, что амплитуда волн на этих плоскостях одинакова. Пройдя некоторое расстояние L быстрая волна опередит медленную на четверть периода, то есть на π / 2 . Но это будет соответствовать случаю, рассмотренному ранее, и описанному ранее, и описанному нами как волна круговой правовинтовой поляризации (условно). Если теперь сдвинуть фазу на π (половину длины) поляризация вновь изменится теперь уже на обратное. Следовательно, на расстоянии 2L

(π / 2 +π / 2 = π )от того места, где волны образовали правоволновую поляризацию, они уже будут обладать

левокруговой поляризацией (противоположной первоначальной). Таким образом, последовательность поляризаций будет такова:

Расстояние:		Тип поляризации:
0		Линейнаяϕ = 450
L		Правовинтоваяϕ = 900
2L		Линейнаяϕ =1350
3L		Левовинтоваяϕ = 2700

И так далее… Амплитуда поперечных механических волн в упругих стержнях можно представить в виде

U = A(r) cos(tω − nθ − kz) .

Здесь A(r) - некоторая функция расстояния от оси, а θ - угол поворота вокруг этой оси, для определения знака которого нужно смотреть вдоль оси в направлении распространения волны. Если зададим это расстояние r = r0 .,

то максимальное амплитудное значение A достигается, когда cos =1 или ωt − nθ − kz = 0 . Отсюда:

θ = ωt n− kz .

Приn целом и положительном – правовинтовое движение, при n целом и отрицательном – левовинтовое. Линейно поляризованные волны получаются при сложении двух волн вида:

U1 = A1 cos(ωt) − nθ − kz) и U2 = A2 cos(ωt) + nθ − kz) . То есть возможен переход из линейной поляризации в круговую и обратно.

2.9. Двойное лучепреломление

При рассмотрении взаимодействия поляризованной волны с границей раздела двух сред, было установлено, что состояние поляризации может быть изменено с помощью процессов избирательного поглощения

и отражения (вспомним определение угла Брюстера). При угле падения θ >θб отраженная волна становится поностью поляризованной (формула тангенсов). Существует и другая возможность изменения состояния поляризации, пожалуй, самая важная для сейсморазведки, путем задержки фаз одноименных колебаний. Продемонстрируем этот эффект на простом примере. Представим себе слой горной породы с плоскопараллельными границами, обладающий тем свойством, что коэффициент преломления не одинаков для поперечных волн с признаками поляризации в азимутальной и лучевой плоскостях, т.е. nII ≠n .

Рассмотрим действие такого слоя на бегущую монохроматическую плоскую упругую поперечную волну. Дляr этого разложимr падающее излучение на две компоненты по взаимно перпендикулярным направлениям

i = mˆ x и j = mˆ y - единичные орты. Точка z=0 установлена на верхней плоскости слоя. Сам слой погружен в

44

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

идеальную упругую среду. Мощность слоя - z. Пусть далее колебания в поперечной волне при z = 0 выражаются в виде: U (x, y,t)= eiwt [mˆ x AII eiϕII + mˆ y A eiϕ ].

Рассмотрим теперь волну, проходящую внутри слоя от z = 0 до z = z. Явления отражения и поглощения не учитываем, считая, что они действуют одинаково на обе компоненты Ux,y(x,y,t), поэтому на поверхности z = 0 заменяем ωt на ωt – kz. Однако сразу запомним, что kII ≠ k из-за нашего предположения, что nII ≠n . Кроме того,

учтем далее, что k

II

=

2π

=

2π

= 2πf

= nIIω

, nII =c0/cII, k = n ω/c0, где с0 – скорость распространения волны

λ

c / f

II

c

II

c

0

из полупространства падения (изотропная геологическая среда). Тогда:

U (x, y,t)

=

e

iwt

ˆ

iϕII −inII ω z / c0 +

ˆ

A e

iϕ −in ω z / c0

]

.

[mx AII e

my

На пути движения через слой мощности z фаза каждой компоненты получит соответствующую задержку во времени относительно фазы, которая существовала бы без слоя ϕ0 = zω/c0. Для компоненты U(x,y,t)II задержка фазы составит (nII – 1)ωΔz/c0. Аналогично для компоненты U(x,y,t) − (n – 1)ωΔz/c0. Фазовый сдвиг между компонентами волны найдем путем вычитания задержек: ϕII − ϕ = (nII – n )ωΔz/c0 = (nII – n )2πΔz/λ0, где λ0 – длина волны в покрывающей среде.

Пусть падающая волна линейно поляризована, а ее направление составляет

r r

угол 45° с ортами mx и my . Тогда UII(x,y,t) = U (x,y,t), а фазы их также равны и

составляют π/4, оставаясь неизменными во времени.

U (x, y,t) = eiωt [mˆ x AII eiπ / 4 e−inII ωz / c0 + mˆ y A eiπ / 4 e−in ω z / c0 ]. Пройдя слой

мощности z, волна U(x,y,t) получит соответствующие задержки:

U (x, y,t)

=

e

iωt

ˆ

AII e

iπ / 4

e

−i(nII −1) 2π z / λ0

+ ˆ

iπ / 4

e

−i(n −1)2π z / λ0

]

.

[mx

my A e

смещения, получим:

Представим, что nII в виде nII = n +δn, тогда: подставляя в выражение вектора

/ 4−i(n

+δ n −1)2π z / λ0 + my A eiπ / 4−i(n −1)2π z / λ0 ]=

U (x, y, z,t)= eiωt [mx AII eiπ

r

r

r

AII e−i

r

]=

= eiωt eiπ / 4 [mx

(n −1)2π z / λ0 ei(2π z / λ0 )δ n + my A e−i(n −1)2π z / λ0

= eiωt eiπ

r

r

r

r

/ 4 [mx AII e−iϕ ei zk ′ + my A e−iϕ ]= A ei(ωt −ϕ) [mxei zk ′

+ my ].

При преобразовании использовано следующее:

(n −1)2π z

=ϕ =ϕ;

2πδn = k′

и

AII

= A = A. Рассмотрим произведение

λ0

λ0

zk′ =

z

2π

δn

=

z

ω

λ

и подставим в уравнение фазы компоненты UII:

c

0

ϕII

= π

− k z − zk′ =

π − k

z − z

ω

= π

− 2π z −

ω z =

π

− ω z − ω z =

δ c

4

4

4

4

λ

δc

c

δ c

= π − ω

z

c

= π −

ω z ,

1 +

4

c

4

c

δ c

где

c

. Таким образом, скорость компоненты UII(x,y,t) оказывается меньше чем U (x,y,t), т.е. волна

c

1 +

δ c

r

поляризованная параллельно оси с ортом mx оказывается более медленной. Разность фаз между этими двумя

компонентами равна k′

z =

2π z

=

π

при

z = λ0/4. В этом случае в соответствии с условиями задачи

λ

2

0

уравнение компонент будет иметь вид:

r

=

r

π

π

UII

AII mx exp −i ωt − kz +

2

exp −i

4

но по условию задачи AII = A , отсюда уравнение

r

r

π

=

U

A my

exp[−i(ωt − kz)]exp −i

4

,

волны, пробежавшей слой горной породы мощностью

z м, примет вид:

45

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

	Ur(x, y,t) = A exp −i(ωt − kz)+		π + exp[−i(ωt	− kz)] .
			2
	Эта форма записи показывает, что линейно поляризованная волна на входе в слой							z изменяет состояние
	поляризации на круговое при мощности слоя равной четверти длины падающей волны. При этом вращение
	происходит против часовой стрелки.
	Компонента волны параллельная оси с ортом mˆ x оказывается более медленной, чем компонента с ортом
	mˆ y . Разность фаз между этими двумя компонентами равна k′			z =	4 z	и	z	= λ′.
					λ′
								4

При z = λ/4 разность фаз составит в точности π/2. А поскольку AII = A = Asin(π/4), cos(π/4), то волна проходящая через слой z изменит свое состояние поляризации и из линейно поляризованной преобразуется в волну поляризованную по кругу. При этом направление вращения вектора U(x,y,t) по часовой стрелке и полное уравнение, описывающее волну примет уже известный нам вид:

r	r	r		π		или A[cos(ωt − kz) + sin(ωt − kz)].
U(x, y,t) =UII exp[−i(ωt − kz)]+U			exp −i(ωt − kz +	2

Если компоненты, линейно поляризованной поперечной волны, с направлением смещения по осям х и у, распространяются в изотропной и однородной среде, то при любых заданных координате z и времени t колебания вдоль х и у будут иметь одно и то же значение, что и колебания в источнике, но в более ранний момент времени t`= z/c0. Если теперь эти две компоненты проходят слой мощности z, у которого nII>n , то на выходе из слоя мгновенное значение UII(x,y,t) будет соответствовать более позднему излучению чем U (x,y,t), то есть U испущено источником как бы раньше, чем UII(x,y,t). Это объясняется тем, что волна с UII (x,y,t), проходит то же расстояние z, что и U (x,y,t), но за большее время, или с меньшей скоростью.

Таким образом, одна и та же волна расщепляется на две волны-спутника с большей и меньшей скоростью. На выходе из слоя, обладающего анизотропными свойствами, мы зарегистрируем результат интерференции двух волн, если мощность слоя не равна λ/4. Ниже приведены свойства анизотропных слоев различной мощности.

1.Слой мощностью λ/2 оставляет линейно поляризованную волну линейно поляризованной, но изменяет знак амплитуды одной из компонент на π.

2.Волна поляризованная по кругу на выходе из слоя мощностью λ/2 меняет направление вращения на обратное.

3.Слой мощностью λ/4 превращает линейно поляризованную волну в эллиптически поляризованную и круговую при угле линейной поляризации 45° по отношению к осям координат. Вращение всегда происходит от быстрой волны к медленной.

4.Слой мощностью λ/4 превращает волну поляризованную по кругу в линейно поляризованную.

5.Анизотропный слой не оказывает никакого влияния на линейно поляризованную волну только в том

случае, когда направление поляризации совпадает с осью анизотропии.

Явление, подобное рассмотренному, в физике называется свойством двойного лучепреломления. Этим свойством обладает большинство кристаллов, а в геологии – большинство пород имеющих периодическую структуру и неоднородный состав. Если порода обладает только одним направлением анизотропии – то ее называют одноосной. Направление оси анизотропии можно назвать необыкновенным. Другие два – перпендикулярные этой оси – обыкновенными. Понятно, что явление сейсмической анизотропии изучать необходимо, но необыкновенно трудно и, в первую очередь потому, что исследователь не имеет возможности воочию убедиться в наличии необыкновенного направления. Часто эффекты, подобные анизотропии, вызываются неверной методикой исследований как в области приема, так и в области излучения волн, то есть не точным представлением о строении среды и механизмах действия источника.

Глава III. Физические основы сейсмических наблюдений

Основной задачей структурной сейсмологии является изучение закономерностей распространения упругих волн сквозь толщи геологических пород, устойчивое чередование которых по глубине и составляет в целом понятие геологического разреза. При распространении упругой волны в толще земной коры она претерпевает значительные изменения вследствие действия физических процессов отражения-преломления, дисперсии, поглощения, изменения как типа волнового движения (обмен), так и поляризации колебаний, рассеяния и дифракции на неоднородностях и включениях. Это взаимодействие со средой количественно выражается в изменениях динамических и кинематических характеристик сейсмических волн, таких как: скорости распространения, распределение энергии колебаний по компонентам, увеличение периода колебательного движения и др.

3.1. Физические принципы МВС

Главным принципом любого сейсмического метода является теорема экстремальности времени распространения волны от одной точки до другой. Математически это выражается отысканием минимума временной функции t вариационной задачи типа

46

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

	B( x1 , y1	,z1 )	dS
t =	∫			,
			V(x, y, z)		(1)
	A( x0 , y0 ,z0 )

где: dS – элемент дуги траектории волны: dS= dx2 +dy2 +dz2 , V – функция скорости распространения упругой

волны в среде. В общем случае траектории упругих волн криволинейны, но в однородной и изотропной среде из принципа Ферма вытекает, что траектории упругих волн – прямые линии.

Второй принцип, используемый в сейсмических исследованиях, устанавливает правило формирования характера колебательного движения в соседних точках пространства и носит имя Гюйгенса. Этот принцип гласит, что характер движения в наблюдательной точке определяется суммой колебаний элементарных источников, расположенных на поверхности, которую занимал фронт волны в предшествующий отрезок времени, весьма малый.

Следующий принцип – это взаимность положения в пространстве источника сейсмической волны и датчика (сейсмоприемника). При этом, в простейших геологических средах кинематические и динамические параметры сейсмической волны останутся неизменными при взаимной перемене координат источника и приемника. Естественно, что в этом случае характеристики взаимодействующих элементов должны быть одинаковыми.

Наконец, четвертый принцип сейсмического процесса, относится к формированию волнового движения источником, и получил имя Огюстена Френеля, впервые сформулировавшегося правило оценки размеров части среды формирующей волновое движение на расстоянии l от источника. Эта площадка носит наименование зоны Френеля и по основному энергетическому вкладу в формирование отраженной волны в однородной среде имеет радиус Rф порядка (первая зона)

	Rф =	lλ	,	(2)
		2

где: l – расстояние от источника до границы l = h2 + x42 , х – координата приёмника, λ - преобладающая

длина волны.

3.3. Физические характеристики горных пород

Математическую основу любого сейсмического метода составляют уравнения динамической теории упругости. Горные породы, составляющие тот или иной геологический разрез, обладают свойством сопротивляться изменению первоначальных объема и формы, а при прекращении внешнего воздействия возвращаться к начальной форме и величине объема, принято называть упругостью. Это свойство горных пород и определяет ту эффективность всех сейсмических методов исследований земных недр, поскольку сейсмические волны (упругие) обладают наименьшим затуханием из всех известных других волновых движений и, следовательно, могут проникать на значительные глубины вплоть до центра Земли. При выводе уравнений силового равновесия в динамической теории упругости используют обобщенный закон Гука. Конкретный вид связи между напряжениями и деформациями может быть достаточно сложным. Однако, в своей основе, как главный принцип упругости, лежит линейная связь между напряжением в объеме породы и его относительной деформацией, что собственно и является предметом открытия самого Гука. Поскольку относительная деформация

величина безразмерная, а напряжение имеет размерность силы на единицу площади (H / м2 ), то между ними

находится некоторая величина размерности напряжения, которую принято называть константой горной породы или модулем упругости. Для изотропной горной породы таких модулей два – модуль всестороннего сжатия «Қ» и сдвига «G». Через эти константы выражаются и скорости распространения упругих сейсмических волн продольных (Р) и поперечных (S):

	V p2 =	K + 4 / 3μ	= (λ + 2 μ ) / ρ ;	Vs2 =	G	,	(3)
		ρ			ρ

где: Қ и G – модули всестороннего сжатия и сдвига, ρ - плотность породы (масса единицы объема), Vp2,s - квадрат

скоростей распространения продольных (Р) и поперечных (S) волн.

Известны и другие константы (модули), но все они суть производные от двух поименованных выше. Наиболее часто употребляются константы Ламе λ и μ, которые суть: λ = K-2/3G; μ = G.

Из приведенных формул видно, что Vp > Vs при любых обстоятельствах, а из (3) можно найти следующее равенство:

	λ + 2μ	=		G	или	V 2	=	G	.
						s				(4)
	Vp2		Vs2			Vp2		λ + 2μ

47

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Обозначив отношение Vs/Vp через γ будем иметь, что γ = G / λ + 2μ - важный параметр многоволновой

структурной сейсмологии, который легко вычисляется из полевых экспериментальных данных.

Обсуждая вопрос о существовании упругих модулей Қ и G, всё время интуитивно чувствуется наличие между ними какой-то связи. Действительно, такая связь есть и она носит имя открывшего её французского математика Пуассона, то есть коэффициент поперечной податливости материала «ν». Величина этого коэффициента показывает как изменяются поперечные размеры твердого тела при его одноосном сжатии или растяжении.

ν = K − 2 / 3G ,			(5)
2K +	2	G
	3

выражая его через γ, получим важнейшую формулу многоволновой структурной сейсмологии:

ν =	1 − 2γ 2	).
	2(1 − γ 2		(6)

При решении задач теории распространения упругих волн в консолидированных средах обычно используют дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа, вид которых, записанный в формализме скалярного и векторного потенциалов приведён без вывода :

	μ) ϕ = ρ		∂2ϕ		,
(λ + 2			∂t	2
					(7)
		∂2ψ ,
μ ψ =
		∂t
		2

где: ϕ,ψ - скалярный и векторный потенциалы упругой среды,(Ψ=iΨx +jΨy +kΨz) λ, μ - константы Ламэ, ρ - плотность материала среды.

Это известные волновые уравнения, описывающие распространение продольных (скалярный потенциал ϕ) и поперечных (векторный потенциал ψ) колебаний в средах с упругими постоянными модулями. Перепишем их в другом виде, используя выражения из (4):

ϕ =	1			∂2ϕ
						2
	2			∂t
	Vp								(8)
	1		2
ψ =					∂ ψ
		2			∂t		2
	Vs

Основным свойством дифференциальных уравнений гиперболического типа является наличие семейства некоторых линий (характеристик), вдоль которых распространяются фронты колебательного процесса. В условиях однородной изотропной среды эти характеристики суть прямые линии, исходящие из источника вида:

ξ = r −V p ,s t

η = r +V p ,s t	(9)

где: r – расстояние от источника до точки наблюдения, Vp,s – скорости распространения продольных и поперечных волн, t – время от момента включения источника.

Во всех случаях для решения задачи о распространении сейсмических волн необходимо знание начальных и краевых условий. Первое из них задаёт работу источника упругих волн, что выражается функцией зависимости колебательного процесса от времени. Обычно полагают, что до момента включения источника среда находилась в покое, то есть смещения и скорости их были равны 0.

Для постановки краевых или граничных условий необходимо знание, хотя бы приблизительное, о строении и главных свойствах среды. Сюда относятся количество контактирующих сред, их тип (твердые, жидкие, газообразные), непрерывность векторов смещений и нагрузок на границах раздела. Кроме того, ограниченность колебательного процесса накладывает дополнительное условие обращения в нуль смещений и нагрузок при возрастании любой из координат (условие излучения волн).

3.2. Взаимодействие со средой

Все сейсмические построения структурного плана используют основное явление физики волн – закон взаимодействия с границей раздела сред, то есть закон «отражение-преломление». Фундаментальный закон, описывающий это явление для гладких плоских и зеркальных границ, гласит, что угол падения монотипной волны на границу раздела сред равен углу её отражения. Этот закон вытекает из принципа Ферма о минимальности времени пробега сейсмической волны по траектории, соединяющей источник-граница-приемник. Математически это выражается законом Снеллиуса:

48

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

sinα0	=	sinα1	; sinα =sinα .		(10)
VP	1			0
		VP
0	0

Если на границе раздела возникает обменная волна, то тот же принцип Ферма требует соблюдения другого соотношения, которое имеет вид:

	sinα	=	sinβ	или sinβ =	VS	sinα =γsinα .
	0		1		0			(11)
	V		V		V
				1		0	0
	P		S		P
	0		0		0

Теперь формулировка этого закона звучит так: синус угла отражения обменной волны есть угол падения монотипной умноженной на величину отношения скоростей распространения поперечных и продольных волн в покрывающей границу толще. Ясно, что отраженная обменная волна будет фиксироваться датчиком с другой пространственной координатой, нежели монотипная (ближе к источнику). Наряду с отражением в подстилающей среде образуется проходящая волна того же типа и обменная, которые носят название преломлённых (проходящих) волн. Удовлетворение требования принципа Ферма для волн этого же типа приводит к следующему виду закона Снеллиуса:

	sinα0	=	sinβ1	=	sinβ2	=	sinα0	(12)
	VP		VP		VS		VS
	1	2		2		1

	sin β1	=	VP			sinα0
				2
			VP
			1				, что можно сформулировать следующим образом: синус угла преломления
					VS2
	sin β2	=					sinα0
					VP
			1

монотипных волн равен произведению синуса угла падения на величину отношения скоростей в подстилающей и

покрывающей средах.			Так как	VP	>VP , то β1 > α0 .			Если	VP	<VP ,	то β1 < α0 . Для обменной
				2		1			2	1
волны, если VS	2	>VP ,	то	β2 > α0		и наоборот, при VS	2	<VP	,	то β2	< α0 .
		1						1

Объединяя все рассмотренные выше случаи закон Снеллиуса запишется в общем виде следующими соотношениями:

sinαp

=

sinα

PP

=

sinα

PS

=

sinβ

P

=

sinβ

PS

=

sinα

S

=

sinβ

S

.

(13)

VP

VP

VS

VP

VS

VS

VS

1

1

2

2

2

1

2

α - углы в покрывающей, β - в подстилающей толще, индексы p, s и ps cоответствуют монотипным продольным, поперечным и обменным волнам.

Самый простой вид закон Снеллиуса приобретает в случае падения на границу раздела монотипной поперечной волны поляризованной ортогонально лучевой плоскости. При этом не возникает обменных волн.

			sinαSH	=	sinαSH	=	sinβSH	.
			VS		VS		VS
		1		1		2
Исследуя выражение закона Снеллиуса из (13) можно выделить два случая:
Первое - VP	>VP	, углы βP и βPS		будут всегда меньше угла падения и меньше 90°. При этом
1	2

подстилающая толща как бы фокусирует падающие волны в более узкий пучок. Никаких вторичных волн той же природы образоваться не может.

Второе - VP

<VP

и

VS <VS

. В этом случае обязательно существует такой угол падения αP и αS, при

1

2

1

2

котором угол прохождения βP

и βS

окажется равным 90°, и волна начнёт скользить вдоль границы раздела со

скоростью VP

или VS

. Но

вследствие того, что VP

>VP

и VS

2

>VS

эти волны скольжения быстро

2

2

2

1

1

отрываются от падающих из среды 1 и сами становятся источником тех же монотипных волн. Этот угол носит название критического и обозначается iкр.

	sin iкр. =	VP	=	VS
		1				1	(14)
		VP		VS		2
		2

Чем больше перепад скоростей V = V2 - V1, тем меньше величина критического угла, тем ближе к источнику начнёт появляться скользящая волна со скоростью распространения, присущей подстилающей породе. Эта волна быстро выходит в первые вступления на сейсмограмме, появляясь в голове всех других видов волн. По этой причине они были названы головными преломленными волнами.

49