9) Смешанное произведение трех векторов

Компланарность и условие компланарности трех векторов

10.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.

Г [ab] = — [Ьа] (свойство антиперестановочности сомножителей) ; 2° [(oa)b] = o[ab] (сочетательное относительно числового

множителя свойство); 3° [ (а+b) с] = [ас] + [bc] (распределительное относительно суммы векторов свойство); 4° [аа] = 0 для любого вектора а. Теорема. Если два вектора а и Ъ определены своими декартовыми прямоугольными координатами a={X1, Y1, Z1}, Ь = {Х2, Y2,Z2}> то векторное произведение этих векторов имеет вид [ab] = {YlZ2-Y2Zi, ZiX2-Z2Xl, Х,У2-Х2У1}. [ab] = Доказательство теоремы 2.17. Составим из тройки базисных векторов i, j и к все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, получим [ii]=0,[ji]=-k,[ki]=j,[ij]=k,[jj]=0,[kj]=-I,[ik]=-j,[jk]=I,[kk]=0. Далее, принимая во внимание, что а = Х1i + У1j + Zik, b = Х2i +Y2j+ Z2k, и опираясь на установленную в предыдущем пункте возможность почленного векторного перемножения векторных многочленов, получим [ab] = X1X2 [ii] + X1Y2 [ij] + X1Z2 [ik] + Y1X2 [ji] + Y1Y2 [jj] + Y1Z2 [jk] + Z1X2 [ki] + Z1Y2[kj] + Z1Z2[kk] Из последнего равенства и соотношений B.46) вытекает разложение

[ab] = (Y1Z2 – Y2Z1)i + (Z1X2-Z2X1)j + (X1Y2-X2Y1)k, эквивалентное равенству B.45). Теорема доказана. Следствие. Если два вектора а = {X1, Y1,Z1} и b={X2,Y2,Z2}

коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е. X1/X2=Y1/Y2=Z1/Z2.

Вопрос 11.

:

Двойное векторное произведение:

Определение и свойства:

Вопрос 12.

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С. из уравнения Ax+By+C=0 выявить коэффициенты A B – КООРДИНАТЫ нормали.

Уравнение Ax + By + C = 0 называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю. Если коэффициент B = 0, A ≠ 0 ≠ C , то из уравнения Ax + By + C = 0 следует x = - C / A = a. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу, отсекающей от оси Ох отрезок величиной а. С = 0, проходит через начало координат

13 Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат Oxy задается уравнением вида x/a+y/b=1, где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях Ox и Oy. Длины отрезков считаются от начала координат.

Каноническое уравнение прямой на плоскости:

Если известны координаты точки A(x₀,y₀) лежащей на прямой и направляющего вектора

ꞇ = {l;m} то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу (x-x₀₎/l=(y-y₀)/m

Параметрические уравнения прямой:

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t – производный параметр, a_x,a_y – координаты x и y направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра   аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.