4. Плотность распределения случайной величины

Функция распределения дает исчерпывающее описание вероятностной модели случайной величины. Но для непрерывной случайной величины , как было показано, она имеет недостаток в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в определенной точке числовой оси. Более наглядное представление о характере локального распределения случайной величины дает плотность распределения вероятностей, которая определяется как производная от функции распределения, если она существует, то есть величина

Смысл плотности распределения вероятностей лучше понять через элемент плотности . Его можно записать в виде

Это соотношение утверждает, что элемент вероятности есть вероятность того, что случайная величина Х лежит в интервале между и . Из определения плотности распределения вероятностей следуют следующие ее свойства:

1. ;

2. 

3. ;

4. .

Для дискретной случайной величины, производные в точках разрыва функции распределения не существуют. Однако плотность распределения такой случайной величины можно представить как совокупность  - функций разной интенсивности в точках разрыва функции распределения, т.е. таких  - функций, площадь каждой из которых (интеграл от  - функции) равняется соответствующему скачкообразному приращению функции распределения вероятностей.

П риведем примерные графики плотности распределения ранее представленных функций распределения:

Стрелочками изображены  - функции в точках разрыва функции распределения

Практическое занятие №1

Контрольные вопросы

.1. Дать определение закона распределения с.в и указать его формы.

2. Функция распределения и её свойства.

3. Функция распределения с.в., ф.р. дискретной случайной величины.

4. Плотность распределения , основные свойства.

Задача 1

Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате опыта Х примет значения, заключенные в интервале .

Решение

За

Задача 2

Интегральная функция непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна . Найти вероятность безотказной работы устройства за время .

Решение

_. Задача 3

Случайная величина Х задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина Х точно 3 раза примет значения принадлежащие интервалу (0,25;0,75).

Решение

 Задача 4

С.в. задана плотностью распределения:

Найти коэффициент. a.

 

Задача 5

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону:

f(t)=0.01e^-0.01t, t 0, где t – время в ч.

Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100ч.

Лекция № 7

Тема: Числовые характеристики случайной величины.

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред. Поповського В.В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции: