zanyatie_KhT_6_17aprelya
.pdfЗанятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 17 апреля
0.1Замена переменной в определённом интеграле
Теорема 0.1 Пусть 1. |
f непрерывна на промежутке T ; |
|
|||
2. |
φ непрерывно-дифференцируема на отрезке [a; b], φ([a; b]) = T ; |
||||
3. φ(a) = α, φ(b) = β. |
|
|
|
||
Тогда справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
∫a |
f(φ(x))φ′(x) dx = |
∫ |
f(t) dt . |
(0.1) |
Сравнив эту формулу с аналогичной формулой замены переменной в неопределённом интеграле, видим, что можно использовать ту же технику интегрирования, добавляя в замену пересчёт верхнего и нижнего пределов для нового интеграла.
Примеры.
|
|
|
|
t = 3x |
|
|
6 |
1 |
6 |
cos 3x d(3x) = x = 0, |
|
||
1) cos 3x dx = |
∫ |
t = 0 |
||||
|
||||||
3 |
||||||
∫ |
|
|
x = , |
t = |
||
0 |
|
0 |
6 |
2 |
∫1 √
2)x 1 + x2 dx.
|
= 3 |
|
∫ |
||
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
2 |
|
sin 0 = 1. |
||
|
|
|
|
|
|
= sin 2 |
|||
cos t dt = sin t 0 |
0
Умножим и разделим интеграл на 2 и внесём множитель 2 под знак интеграла
1 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
t = x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 2x dx = x = 0, |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 1 |
|
pt dt = |
2 |
|
3 |
1 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
x 1 + x2 dx = 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
t2 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {z } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(x2+1) |
x = 1, |
t = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 2 |
|
|
(3 2 1 |
2 ) = |
3 (3p3 1) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
p3 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = p |
|
|
|
|
x = 1, t = 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) |
|
cos px dx = |
|
|
|
x = t4 |
x = 16, |
t = 2 |
|
= |
|
|
cos t 4t3dt = 4 |
|
cos tdt = 4 sin t |
|
2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
px3 |
dx = 4t3dt |
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 (sin 2 sin 1) .
При вычислении определённых интегралов удобно пользоваться формулой
∫b
A dx = A(b a).
a
1
Задания для аудиторной работы.
Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок
|
6 |
1 + p3x 2 , |
|
p3x 2 = t. |
|||||||
1. ∫ |
|
||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3. |
∫0 |
|
|
, |
|
tg |
|
= t. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
3 + 2 cos x |
|
2 |
|
|
2. |
ln 8 |
pex + 1 , |
pex + 1 = t. |
|||||
|
|
∫ |
||||||||
|
|
|
|
ln 3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∫1 |
|
|
|
|
|||||
|
3 2x x2 , |
x + 1 = 2 sin t. |
||||||||
|
−1 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить интегралы с помощью замены переменной
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
6. ∫ |
|
|
dx |
7. ∫ |
dx |
|
|
|
||||
|
x p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
x + p |
|
|
|
. |
|||||
|
|
p |
|
+ |
|
|
||||||||||||||
|
x2 |
|
1 |
(x + 3)3 |
2x |
|
1 |
|||||||||||||
|
|
x + 3 |
|
|||||||||||||||||
|
2=√ |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
√ |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 6ex p |
|
dx. |
|
|
|
sin 2x dx. |
|||||
|
ex 2 |
|
|
|
||||||||
8. |
∫ |
|
|
9. |
||||||||
ex + 2 |
|
∫ |
|
|
|
|||||||
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
x dx |
|
|
|
|
11. |
tg x dx. |
12. |
|
1 + p |
|
|
|
. |
||||
|
x2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. ∫ cos (x + π3 ) dx.
−1
∫
13. sin6 x2 dx.
0
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
( |
2 |
x2 |
+ 1) 2 |
2 |
+x dx. |
|
|
15. |
|
x2 |
sin |
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Домашнее задание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
||
1. Вычислить интеграл с помощью указанной подстановки ∫0 |
, |
tg x = t. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 + 2 sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫ |
|
|
|
x dx |
3. |
∫ |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∫ |
e−x dx. |
|
5. |
∫ |
cos2 x dx. |
||||||||
|
p |
|
9 x2 dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
4x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2