zanyatie_KhT_8_22aprelya

Занятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 22 апреля
0.1 Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом.
Определение 0.1 Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]:	∫ax f (t) dt:
Тогда для любого значения x 2 [a; b] существует единственное значение

∫x

Функция F (x) = f (t) dt; определённая на [a; b] называется интегралом с переменным верхним

a

пределом.

Замечание 0.1 Аналогично определяется интеграл с переменным нижним пределом.

Определение 0.2 Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]:

∫x

Функция F (x) = f (t) dt; определённая на [a; b] называется интегралом с переменным

a

нижним пределом.

Примеры.

1) Функция cos непрерывна, а значит интегрируема, на R; поэтому существует интеграл с переменным верхним пределом

∫x

F (x) = cos t dt; x 2 R:

0

Получим формулу функции F через элементарные функции. Для этого воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

								x											x
								0
					F (x) = ∫				cos t dt = sin t											= sin x sin 0 = sin x:
																			0
Значит, F (x) = sin x;					x 2 R:
																									1	3			4
2)Для интеграла с переменным нижним пределом F (x) = ∫x																										(	t		t	) dt; x 2 R найдём
																											5		4
выражение.
	1		3			4							4					5						(						)	5	x	4
	x
F (x) =		t			t			dt =		1 t					1 t							=	1	14		15 x4			+ x5 = x				:
	∫ ( 5 4 )								(5 4						4 5 ) x								20									20

1

0

F ′(x) = f (x):

∫x

Следующие свойства справедливы для интеграла с переменным верхним пределом.

∫x

10: Если f интегрируема на отрезке [a; b]; то функция F (x) = f (t) dt непрерывна на

a

[a; b]:

20: Если f интегрируема на отрезке [a; b] и непрерывна в точке x0 2 [a; b]; то функция

∫x

F (x) = f (t) dt дифференцируема в точке x0 и справедливо

a
F ′(x0) = f (x0)	x 2 [a; b]:

∫x

30: Если f непрерывна на отрезке [a; b]; то функция F (x) = f (t) dt дифференцируема

a

на отрезке [a; b] и справедливо

Примеры.

1) Найти производную функции F (x) = sin t dt:

F ′(x) = sin x:

	ex			′	ln ex
	∫	ln z	dz =
2)				=		ex = x: Здесь интеграл с переменным верхним пределом –
		z			ex
	2

сложная функция, поэтому мы воспользовались формулой производной сложной функции.

2

Задания для аудиторной работы.

Найти выражение для интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.

x

2x

5

2x

1.

∫0

t2 dt :

2.

∫1

3.

∫x

p

dt:

4.

∫x

(t2 + 6t + 11) dt:

ln t dt :

1 + t

Вычислить производную функции.

x

x

5

x2

1 t + t2

sin t dt :

dt :

1 + z2 dz:

ln t dt:

5. ∫

6. ∫ 1 + t + t2

7. ∫

√

8. ∫

0

0

x

1

8.

При каких значениях x функция ∫0x te−t2 dt имеет экстремумы?

9.

Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции ∫0x(1 + t) ln t dt:

Домашнее задание.

Найти выражение для интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.

e

e2

0

x

1. ∫

dt

2. ∫e

dt

3. ∫x

u du

4. ∫

dt

:

t p

:

:

:

t ln3 t

u2 + 4

t2 + 6t + 11

ln t

1

−2

Вычислить.

x2

dt ′ :

d

x

dt

d

x3 e−3t dt :

1.

1 + t2

2.

∫

:

3.

dx

pt

dx

∫

√

∫2

0

a

x

3