zanyatie_KhT_12_6maya_1
.pdf
Занятие 6 мая
Функции нескольких переменных
1. |
Дана функция f(x; y) = |
2x 3y |
. Найти f(2; 1), f(1; 2). |
||
3x 2y |
|||||
|
|
|
|||
2. |
Дана функция f(x; y) = |
2xy |
. Найти f( 3; 4), f(1; xy ). |
||
|
|
||||
x2 + y2 |
|||||
3.Найти f(φ(x; y); y2) и φ(f(x; y); φ(x; y)), если f(x; y) = x2 + y2, φ(x; y) = x2 y2.
4.Найти область определения функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1) z = √R2 x2 y2 ; |
|
|
|
2) z = |
|
|
|
; |
3) z = arcsin |
; |
|
|
4) z = ln(x2 + y2) ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R2 x2 y2 |
y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6) u = p |
|
|
|
|
7) u = √ |
|
. 8) y = r√ |
|
. |
|||||||||||||||||
5) z = ln ( x y) . |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 R2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
sin φ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xyz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5.Найти пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
xlim0 |
|
|
pxy |
|
. |
|
|
2) |
xlim0 |
sin xy |
. |
|
|
|
|
|
|
3) xlim0 |
sin xy |
. |
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
! |
|
|
xy + 9 |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
y |
||||||||||||
|
y ! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ! 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
sin |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
lim |
(1 + x |
|
2 |
2 |
. |
5) |
lim |
) |
2 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ y |
)x |
+y |
(x + y |
|
x |
+y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x ! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2
6. Выяснить, имеет ли функция f(x; y) = x2 + y2 предел при x ! 0, y ! 0.
1
7. Где разрывна функция f(x; y) = x y ?
Домашнее задание.
1. Даны функции φ(x; y) = ex cos y , ψ(x; y) = ex sin y. Доказать, что
φ2(x; y) ψ2(x; y) = φ(2x; 2y).
2. Найти область определения функции
√
1) u = ln(1 x2 y2 + z2) ; |
2) y = arcsin |
x2 + y2 |
; |
z |
|
|
|
|
x |
||
3) y = r√cos 2φ ; |
||||||
4) z = arcsin |
|
. |
||||
y2 |
||||||
1