КОЛЛОКВИУМ МАТЕМАТИКА СУСЛОВА ХТ19Д

Интегрирование тригонометрических выражений.

Интеграл R(sinx,cosx)dx , где R – рациональная функция относительно синус х и косинус х.

1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Где производится замена t=tgx/2, из этого следует, что x=arctgt=> dx=(2dt)/(1+t^2).

Sinx=(2tgx/2)\(1+tg^2x/2) = 2t\(1+t^2)

Cosx= (1-tg^2x/2)/(1+tg^2x/2)= (1-t^2)\(1+t^2)

С помощью УТП вычисляются интегралы вида : Интегралdx\(arcosx+bsinx+c)

2. R(sinx,cosx)=R(tgx) t=tgx

3. R(-sinx,-cosx)=R(sinx;cosx) t=tgx; x=arctgt

4. R(-sinx, cosx)=-R(sinx;cosx) t=cosx, тогда sinxdx=-dt

5. R(sinx,-cosx)=-R(sinx;cosx) t=sinx; cosxdx=dt

6. Интеграл sin^m(x)*cos^n(x)dx:

• А) если m нечетные, тогда t=cosx

• Б) если n нечетные, тогда t=sinx

• В) если m;n больше 0 и четные, тогда используем формулы понижения степени. 2sin²x=1-cos2x, 2cos²x=1+cos2x.

• Г) если m;n меньше 0, а их сумма является четной, тогда t=tg x

Интеграл sinАЛЬФАx* sinБЕТАxdx

Интеграл cosАЛЬФАx*cosБЕТАxdx=(преобразование)=1/2(sin(АЛЬФА-БЕТА)x/(АЛЬФА-БЕТА)+cos(АЛЬФА+БЕТА)x)/(АЛЬФА+БЕТА)

Интеграл cosАЛЬФАx*sinБЕТАxdx

7. Интегралы вида ∫tgⁿxdx, ∫ctgⁿxdx, где n – целое. Необходимо использовать формулы:

∫sin(nx)·cos(mx)dx, ∫cos(mx)·cos(nx)dx, ∫sin(mx)·sin(nx)dx

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

• sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))

• cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))

• sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

8. НО ЕСТЬ ИНТЕГРАЛЫ КОТОРЫЕ НУЖНО ЗАПОМНИТЬ И ИХ НЕЛЬЗЯ ПРОИНТЕГРИРОВАТЬ.