LS-Sb88869

lambda = eig(C); ro(1,i)=max(abs(lambda)); om(1,i)=omega;

end plot(om,ro);

%Задание правых частей системы уравнений function dx = f(t,x)

global eps omega

%объявление вектора

dx = zeros(2,1);

% вычисление правых частей dx(1) = x(2); dx(2)=-(omega^2+eps*q(t))*x(1); function y=q(t)

pi4=pi/4;

if abs(t-pi4)< pi4 y=pi4-abs(t-pi4);

else y=-pi4+abs(t-3*pi4);

При m = 50 получаем график функции ρ(ω)(см. рисунок).

Из графика видно, что на отрезке 0 ω π имеются две зоны неустойчи-

вости – около 1 и около 2. Границы этих зон можно уточнить, если увеличить значение m.

21

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Нормы векторов и матриц

Определим норму вектора X следующим образом:

X max xi .

1 i n

В линейном пространстве Mn квадратных матриц размера n × n норму определим формулой

					n
A					max	ai, j	.	(П.1)
					1 j ni 1

Нормы можно определить разными способами, но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Это означает, что если последова-

тельность матриц Am сходится к матрице B по одной норме, то она сходится к B и по любой другой норме, т. е. при m

Am B1 0 Am B2 0.

Все дальнейшие выводы справедливы при любом определении нормы.

Пример. Пусть

														5,6				3		1,2
											A				3,2				2	2,4
																					.
															4,8				2	2,6
3											3								3
Тогда:					ai,1					13,6;			ai,		2		7;			ai, 3	6,2, и по формуле (П.1)
i 1											i 1								i 1
											3
получим, что				A						max		ai, j				max(13,6;7;6,2) 13,6.
									1 j 3i 1

Собственные числа матрицы можно вычислить приближенно с помощью функций, входящих в любой математический пакет. Например, в Matlab

имеется функция eig, в Mathcad – функция eigenvals. Для данной матрицы А вводим eig(A) в командную строку Matlab и получаем вектор собственных чисел

1				4
	2				2
						.
	3				1

22

Определение. Спектральным радиусом матрицы A называется число

ρ(A) max i , где i собственные числа матрицы.

1 i n

Для матрицы А из примера 1 имеем ρ(A) 4.

Для любой нормы в Mn и любой матрицы A Mn справедливо нера-

венство (см. [2]):

ρ(A)

A

.

(П.2)

2. Степени матрицы

Собственные числа матрицы Am имеют вид

λm , где λ собственное

число матрицы A. Поэтому ρ(Am) ρm(A). Учитывая (П.2), получаем

ρm(A)

Am

.

(П.3)

Поведение матрицы Am при m описывают следующие два утвер-

ждения:

А. Если ρ(A) 1, то

Am

при m .

Б. Am тогда и только тогда, когда ρ(A) 1.

Утверждение А следует из (П.3), а утверждение Б доказано в [2]. Матрица А называется диагонализуемой, если она подобна диагональ-

ной матрице, т. е. существует такая матрица S , что A S 1DS, где D –

диагональная матрица. Если D – диагональная матрица, то Dm − тоже диа-

гональная с элементами λ im на диагонали. Поэтому поведение матрицы Dm

при m легко проследить. Это верно и для диагонализуемых матриц, так как

Am S 1D mS.

3.Матричная экспонента

Втеореме 2 используется матричная экспонента, т. е. показательная функция, у которой показатель степени − матрица. Такая функция определяется следующим образом.

Рассмотрим обычное разложение функции ex в степенной ряд:

ex 1 x	x2		x3	...	xk	....
					k!
2!		3!

23

Заменим формально в правой части число x на произвольную квадрат-

ную матрицу X, а число 1 – на единичную матрицу E:

X

1

2

1

3

1

k

e

E

X

X

X

...

X

....

(П.3)

2!

3!

k!

Формула (П.3) является определением матричной показательной функции.

Основанием для такого определения служит то, что ряд в правой части (П.3) сходится. Действительно, норма каждого члена ряда не превосходит соответ-

ствующего члена сходящегося положительного числового ряда X k/ k!.

k 0

Отсюда следует сходимость ряда (П.3).

Если D − диагональная матрица, то

e 1

0 ...

0

e 2 0

e

D

0

0

(П.4)

... ...

0

.

...

0

0 ...

e n

Если X диагонализуема,

то X S 1DS , где D диагональная матрица,

причем X m S 1D m S. Тогда из формулы (П.3) получим

X

1

1

2

1

3

1

k

1 D

e

S

E

D

D

D

...

D

... S S

e

S.

3!

2!

k!

Если же

X не диагонализуема,

то нет простых формул, связывающих

элементы матриц X и eX .

Определенная таким образом матричная экспонента обладает некоторыми, хотя и не всеми, свойствами обычной экспоненты. В частности, если

матрицы	X и Y перестановочны, т. е.	X Y Y X , то eX Y eXeY . Отсюда
следует,	что eX n enX . Однако если	X и Y не перестановочны, то в об-
щем случае eX Y eXeY .

4. Индивидуальное задание

Исследовать устойчивость и определить тип особой точки x0; y0 сис-

темы:

x' f (t,x,y);	(П.5)
y' g(t,x,y),

24

где

f (t,x,y) a1x2 b1xy c1y2 d1 sint; g(t,x,y) a2x2 b2xy c2y2 d2 cost.

Необходимо:

1)линеаризовать систему в окрестности особой точки;

2)исследовать устойчивость нулевого решения линеаризованной системы;

3)сделать вывод относительно особой точки исходной системы. Правые части системы − периодические функции от t с периодом Т.

Положения равновесия или указаны, или легко находятся. Для проверки их устойчивости нужно следовать схеме, описанной ранее.

Исходные данные для индивидуального задания, представлены в следующей таблице.

Вариант	a	1	b	1	c	d	1	a	2	b	2	c	d	2	x ;	y
					1							2			0	0
1	2		3		−1	2		3		−5		4	−12		(−1; 1)
2	1		4		6	−33		1		3		8	−39		(1;	2)
3	5		1		3	−87		2		1		1	−37		(4;	1)
4	3		1		4	−18		8		−1		−2	−28		(2;	1)
5	6		2		3	−79		4		3		1	−11		(2; −5)
6	1		−3		4	−28		5		1		2	−26		(1;	3)
7	5		2		1	−13		−3		4		7	−93		(−1; 4)
8	2		5		1	−32		1		−3		7	−20		(2;	2)
9	3		2		−2	−87		4		1		5	−130		(−5;	−2)
10	2		6		7	−168		3		4		−9	100		(2;	4)
11	1		10		3	−708		2		7		−8	104		(6;	8)
12	6		4		−1	−41		2		−4		5	−35		(3; −1)
13	3		3		2	−5		3		5		4	−9		(1; −2)
14	7		1		−2	−82		4		7		2	2		(4; −3)
15	2		3		5	−163		6		−7		5	−79		(2;	5)
16	1		1		2	−14		2		−2		1	−13		(3;	1)
17	3		2		−2	4		1		−3		5	−36		(2; −2)
18	2		6		7	−42		4		1		5	−26		(1;	2)
19	1		5		3	−13		3		4		−3	36		(−1; 3)
20	4		4		−1	−28		1		−3		2	0		(2;	2)

В этой таблице первый столбец содержит номер варианта; следующие во-

семь столбцов – значения коэффициентов уравнений системы (П.5); в последнем столбце – координаты особой точки системы (положения равновесия).

25

Список литературы

1.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:

ФМЛ, 1965.

2.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Список рекомендуемой литературы

Васильева А. Б., Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения. М.: ФМЛ, 1980.

Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

26

		Содержание
1.	Устойчивость решений....................................................................................		3
2.	Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами..............		5
3.	Устойчивость линейных периодических систем............................................		7
4.	Устойчивость положения равновесия
	нелинейной периодической системы............................................................		13
5.	Устойчивость периодического решения неавтономной системы ...............		16
6.	Устойчивость периодического решения автономной системы...................		17
7.	Исследование одного уравнения 2-го порядка.............................................		18
Приложения
	1.	Нормы векторов и матриц .........................................................................	22
	2.	Степени матриц..........................................................................................	23
	3.	Матричная экспонента...............................................................................	23
	4.	Индивидуальное задание...........................................................................	24
Список литературы ............................................................................................			26
Список рекомендуемой литературы .................................................................			26

27

Редактор Т. А. Лунаева

Подписано в печать 29.12.2012. Формат 60×84 1/16

Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,75. Гарнитура «Times New Roman». Тираж 40 экз. Заказ 212.

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

28