LS-Sb88869

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

_________________________________

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания к практическим занятиям и индивидуальным заданиям по высшей математике

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2012

УДК 512.64(07)

Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений: Методические указания к практическим занятиям и индивидуальным задани-

ям по высшей математике / Сост.: М. И. Юдовин, С. Н. Солнышкин, С. Б. Энтина. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 28 с.

Содержат краткое изложение сведений по теории устойчивости реше-

ний периодических систем, описания индивидуальных заданий и примеры их решения, варианты заданий.

Предназначены для студентов ФКТИ специальности «Прикладная математика и информатика».

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012

2

Цель данных методических указаний – помощь студентам специально-

сти «Прикладная математика и информатика» в изучении теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в вы-

полнении индивидуальных заданий по этой теме.

Основное внимание уделяется вопросу об устойчивости положения рав-

новесия и периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваются системы следующего вида:

линейные с постоянными коэффициентами;

линейные с периодическими коэффициентами;

нелинейные периодические.

1. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

Рассматривается система дифференциальных уравнений

			X'
	f1(t, X)
Здесь F(t, X)			, а вектор
	...
	fn(t,	X)

F(t, X).			(1.1)
	x1(t)
X(t)			− решение системы.
	...
	x (t)
	n

Решение X(t), удовлетворяющее начальному условию X(t0) X0, бу-

дем обозначать через X(t, X0). Пусть X(t,Y),t0 t − решение уравне-

ния (1.1) , удовлетворяющее начальному условию X(t0) Y. Предположим,

что решение X(t,Y) существует при t t0 для всех начальных векторов Y,

достаточно близких к X0, т. е. найдется такое 0, что X(t,Y) существует,

если Y X0 .

Определение 1. Решение X(t, X0) называется устойчивым по Ляпунову,

если для каждого 0 найдется такое число 0, что для каждого вектора Y,

удовлетворяющего условию	Y X0	, неравенство	X(t,Y) X(t, X0)
выполняется при всех t t0 .
Определение 2. Устойчивое по Ляпунову решение			X(t, X0) называется

асимптотически устойчивым, если найдется такое число 0, при котором

для каждого вектора Y , удовлетворяющего условию					Y X0	,	выполня-
ется условие
	X(t,Y) X(t, X0)		0	при t .			(1.2)

3

Определение 3. Решение X(t, X0) называется неустойчивым, если най-

дутся последовательности Yi , ti , i 1,2,... и число 0, удовлетворяющие при i следующим условиям:

t i ;

Y i X0;

	X(t		,Y		) X(t		, X		)		.
		i		i		i		0

Замечания. 1. Может показаться, что в определении 2 предварительное требование устойчивости по Ляпунову не нужно − оно вроде бы вытекает из соотношения (1.2). Это не так (см. [1, с. 158−159]). Устойчивость по Ляпуно-

ву следует из (1.2) лишь в том случае, когда (1.2) выполняется равномерно

относительно некоторой окрестности точки X0.

2. С помощью замены переменной t t0 начальная точка переносит-

ся в 0. Поэтому далее начальное условие будем использовать в виде

X(0) X0.

3. Понятие устойчивости относится к конкретному решению системы, а

не к системе. Одно из решений может быть устойчивым, а другое решение той же системы – неустойчивым. В случае линейных систем понятие устойчивости можно применять и к самой системе. Действительно, рассмот-

рим линейную неоднородную систему
	X ' A(t)X F(t),	(1.3)
где A(t)	− матрица коэффициентов. Пусть X(t, X0), X(t,Y) − два решения
системы	(1.3) и V(t,V0) X(t, X0) X(t,Y). В силу линейности	системы
разность является решением соответствующей однородной системы
	V' A(t)V	(1.4)

с начальным условием V0 X0 Y .

Отсюда следует, что устойчивость какого-то одного решения системы (1.3) равносильна устойчивости нулевого решения системы (1.4).

Примеры. 1. x' x2.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем x(t, x )				x0	. Очевид-
		0		x t 1
				0
но, что при x0 0	решение x(t, 0)	тождественно равно 0,		а при любом
x0 0 решение x(t,	x0) стремится к	0 при t . Однако здесь само поня-

4

тие устойчивости неприменимо, так как при x0 0 решение

x(t,x0) имеет

бесконечный разрыв в точке t

1

, причем t

при x

0 0.

x

1

1

0

0

2. x' cos(t)x,

x(0) x0 .

Интегрируя, получаем

x(t, x0) x0esin(t),

x(t, y) yesin(t), и

значит,

x(t, x0) x(t, y)

x0

y

e. Отсюда следует, что

при малом значении

x0 y

значение величины

x(t, x0) x(t, y)

будет мало

при всех t 0, т. е.

нулевое

решение устойчиво. Асимптотической устойчивости здесь нет, так как ненулевое периодическое решение не имеет предела при t .

3.

x' (cos(t) 1)x,

x(0) x0 .

Аналогично примеру 2 получим x(t, x

) x

esin(t) t, x(t, y) yesin(t) t.

0

0

Отсюда следует,

что

x(t,x0) x(t,y)

x0 y

e1 t

0 при t . Зна-

чит, x(t, x0) асимптотически устойчиво.

4.

x' (cost t)x,

x(0) x0.

Имеем x(t, x0) x0esin(t) t,

x(t,

y) yesin(t) t.

Отсюда следует, что

x(t, x

) x(t, y)

x y

et 1

x(t, x

) x(t,y)

при t . Значит,

0

0

0

система неустойчива.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейную однородную систему
X' AX.	(2.1)

Пусть j j i j, j 1,2,..., n − собственные числа матрицы A (неко-

торые из них могут быть комплексными, в этом случае они присутствуют комплексно-сопряженными парами). Множество решений системы (2.1) яв-

ляется n-мерным линейным пространством. Из теории линейных дифферен-

циальных уравнений с постоянными коэффициентами известно (см. [1]), что в этом пространстве можно выбрать базис, состоящий из функций вида Wk, j(t) Pk(t)eλjt, где Pk(t) многочлен степени не выше n 1 , коэффи-

циенты которого выражаются через собственные и присоединенные векторы

5

матрицы А. Отсюда следует, что координаты решения системы (2.1) пред-

ставляют собой линейную комбинацию функций вида tke j t, а коэффициен-

ты в этой комбинации − линейные функции от X0. Поэтому для любого решения справедлива оценка

X(t, X0)		Ctn 1ert		X0		,	(2.2)

где r max ( j), а постоянная С не зависит от X0.

1 j n

Замечание. Матрица A и вектор X0 вещественные, поэтому и решение

X(t, X0) будет вещественным. Если среди собственных чисел имеются комплексные, то можно в качестве базисных решений взять следующие функции. Пусть j, j − два комплексно-сопряженных собственных числа, а

Wk, j(t),Wk, j(t) − соответствующие комплексно-сопряженные решения. Ве-

щественная и мнимая части этих решений, т. е.

U(t)

1

(W

(t)), V(t)

1

(W

(t) W

(t) W

(t))

2

k, j

k, j

2i k, j

k, j

тоже будут решениями, причем вещественными.

Пусть j j i j, j 1,2,..., n − собственные числа матрицы A и

r max ( j). Тогда верна следующая теорема.

1 j n

Теорема 1. А. Если r 0, то система (2.1) асимптотически устойчива.

Б. Если r 0, то система (2.1) неустойчива. При этом найдется такой начальный вектор X0, что X(t, X0) при t .

В. Если r 0, а матрица A подобна диагональной, то система устойчи-

ва по Ляпунову, но не асимптотически.

Утверждение А следует из неравенства (2.2), а Б получим, если в качестве

X0 взять собственный вектор, соответствующий собственному числу, для которого Re r 0. Тогда X(t, X0) X0e t X0 ert при t .

Утверждение В следует из того, что при диагональной матрице система распадается на n уравнений вида x'j j xj, j 1,..., n. В этом случае коор-

динаты вектора X(t, X0) являются линейными комбинациями экспонент с

неположительными показателями, а также синусов и косинусов.

6

3.УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1.Инварианты системы

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

X' A(t)X.	(3.1)
Здесь A(t) − матрица коэффициентов размера n n, а X(t) −	решение.

Определение 4. Матрица (t) размера n nназывается фундаменталь-

ной матрицей системы (3.1), если

1)каждый ее столбец является решением системы;

2)столбцы линейно независимы.

Из теории систем линейных дифференциальных уравнений известно

([1, с. 138]), что если матрица удовлетворяет условию 1, то ее определитель либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни при каком значении t. Поэтому при построении фундаментальной матрицы достаточно проверить, что она невырождена при каком-то одном значении t, например,

при t = 0.

Таким образом, столбцы фундаментальной матрицы образуют базис в

пространстве решений. Поэтому любое решение							X(t)		системы (3.1) − ли-
нейная комбинация столбцов матрицы						(t), и значит, оно представимо в
виде
	11			12			1n
X(t) c		21	c		22 ... c			2n
1			2				n
		n1			n2			nn
или в матричной форме
		X(t) (t)C,
где C − вектор-столбец с координатами ci, i 1,2,..., n,									а i, j(t) − элемен-
ты матрицы (t).
Удобно выбрать (t) так,			чтобы выполнялось условие (0) E, где
E единичная матрица. Тогда X(0) (0)C EC C, и значит,
		X(t, X0) (t)X0.							(3.2)
Из формулы (3.2) следует, что матрицу (t)							можно рассматривать как

матрицу линейного оператора в пространстве начальных векторов X0.

7

Рассмотрим теперь систему (3.1) при дополнительном условии, что

A(t) – периодическая матрица, т. е. A(t T) A(t), t 0.

Пусть (t) − любая фундаментальная матрица системы (3.1). Тогда матрица (t T) тоже является фундаментальной матрицей. Действительно,

'(t T) A(t T) (t T) A(t) (t T).

Следовательно, каждый столбец матрицы (t T) − решение системы.

При этом они линейно независимы по определению фундаментальной мат-

рицы. Как и любое решение системы, каждый столбец матрицы (t T) −

линейная комбинация столбцов (t). Пусть, например, (t T)j − j-й стол-

бец. Тогда (t T)j (t)Cj, где

c1j
c2 j
Cj			.
c
		n j
В матричной записи это выглядит так:
(t T) (t)C.				(3.3)

Матрица коэффициентов C, очевидно, невырожденная и постоянная.

Таким образом, справедливо следующее утверждение: сдвиг на период в ар-

гументе фундаментальной матрицы равносилен ее умножению на некото-

рую постоянную матрицу.

Определение 5. Матрица C, удовлетворяющая равенству (3.3), называет-

ся основной для фундаментальной матрицы (t).

Очевидно, что сдвиг на m периодов равносилен умножению на Cm. Каждой фундаментальной матрице соответствует своя основная матрица. Это означает, что каждая линейная периодическая система дифференциальных уравнений имеет бесконечно много основных матриц. При этом имеет место следующий факт ([1, с. 153]): все основные матрицы данной системы урав-

нений подобны.

Это означает, что для любой пары основных матриц C1,C2 найдется та-

кая матрица S , что C2 S 1C1S.

Определение 6. Собственные числа основной матрицы называются ха-

рактеристическими числами системы.

8

Из подобия основных матриц следует, что характеристические числа зависят от самой системы, но не от конкретной фундаментальной матрицы, иначе говоря, являются инвариантами системы.

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 2. Каждая фундаментальная матрица линейной периодической системы представима в виде

P(t)et D/T ,

(3.4)

где матрица P(t) имеет период T , а D − постоянная матрица, связанная с

основной матрицей соотношением C eD.

Доказательство теоремы имеется, например, в [1, с. 154].

Следствие. Из этой теоремы и формулы (3.2) следует, что любое реше-

ние линейной периодической системы представимо в виде
X(t, X0) P(t)et D/T X0.	(3.5)
Из (3.2) также следует
X(mT t, X0) (t)CmX0.	(3.6)

Определение 7. Число r 1 ln , где характеристическое число

T

системы, называется характеристическим показателем системы.

Отметим, что характеристические показатели системы являются собст-

венными числами матрицы 1 D.

T

3.2. Поведение решения при t

Пусть (t) фундаментальная матрица, причем (0) E , а X(t, X0) −

любое решение системы (3.1). Представим t в виде t mT ,0 T, где
m натуральное число, и пусть M max				( )				.
0 T
Тогда по формуле (3.6) получим
X(t, X0) ( )CmX0.									(3.7)

Отсюда видно, что поведение решения при t определяется пове-

дением Cm при m , а оно зависит от собственных чисел матрицы C, т.

е. от характеристических чисел системы.

Введем число (C) max i , называемое спектральным радиусом

матрицы. Из формулы (3.7) следует неравенство

9

X (t,X0)		M		Cm				X0		,	(3.8)

на котором основано доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. А. Для асимптотической устойчивости линейной периодиче-

ской системы необходимо и достаточно, чтобы спектральный радиус ее основной матрицы был меньше единицы.

Б. Если спектральный радиус основной матрицы больше единицы, то

система неустойчива, причем найдется такой вектор X0, что X(mT)

при m .

В. Если основная матрица подобна диагональной и ее спектральный

радиус равен единице, то система устойчива, но не асимптотически.

Комментарии к теореме 3. Пункт А следует из (3.8) и прил. 2.

Пункт Б. Действительно, в качестве такого вектора X0 можно взять собственный вектор основной матрицы, соответствующий наибольшему по

модулю собственному числу. Тогда X(mT, X0) C mX0

mX0 при

m .

Пункт В. В этом случае

Cm

m(C) 1 (см. прил. 2). Тогда из (3.8) по-

лучаем

X(t, X0)

M

X0

,

откуда и следует устойчивость. Здесь не может

быть асимптотической устойчивости, так как если

1 и X0 − собственный

вектор

основной матрицы, то X(mT, X0) mX0,

и, следовательно,

X(mT, X0)не может стремиться к нулю при m .

В пункте В требование подобия диагональной матрице существенно. Если основная матрица не подобна диагональной, то имеется хотя бы одно такое собственное число , у которого, кроме соответствующего собственного вектора, есть еще присоединенные векторы.

Поясним это на примере. Не теряя общности, можно считать, что матрица C приведена к канонической форме Жордана, т. е. состоит из клеток

Жордана. Пусть
	1		1	0
C		0	1	0
					.
		0	0	0,5

Очевидно, что 1 2 1, 3 0,5. При возведении С в степень m в эту же степень возводится каждая клетка. Тогда

10