1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках выполняется равенство F(x) = f(x).

Так как С-произвольная постоянная, у любой функции бесчисленное множество первообразных.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – 2 первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть F₁(x) = f(x) и F₂(x) = f(x). Таким образом F₁(x) = F₂(x). Рассмотрим производную разности

(F₁(x) – F₂(x)) = F₁(x) - F₂(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Следствие. Если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C.

Неопределенный интеграл. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом,

f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F(x) = f(x), то и

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

с точностью до постоянного слагаемого.

Свойства неопределенного интеграла.

Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части равенства. Так как они равны, по теореме о том, что любая функция, стоящая в левой части, отличается от любой функции, стоящей в правой части, на постоянное слагаемое.

Теорема2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а=const, тогда

Доказательство. Найдем производные от левой и правой частей -

Они равны. Как и в теореме1, разность двух функций – есть постоянная.

___

При вычислении неопределенных интегралов полезно знать следующие правила:

1.

2.

3.

Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки.

Требуется найти f(x)dx. Делаем замену x = (t). Получаем f(x)dx = f((t))(t)dt.

Для того, чтобы подтвердить, что эти выражения равны, можно взять производные от левой и правой частей. Они равны.

Интегрирование по частям. Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. Тогда d(uv) = udv + vdu. Отсюда получаем Или

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

2. Определенный интеграл.

Определенный интеграл. Если при любых разбиениях отрезка [a,b] таких, что и при любом выборе точекна отрезках [хi-1, xi] интегральная сумма стремится к одному и тому же пределуS, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b]и обозначают

Число а – нижний предел, число b – верхний предел. Отрезок [a,b] – отрезок интегрирования, х – переменная интегрирования.

Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b], если для функции f(x) существует предел

Если построить график подынтегральной функции y=f(x), то в случае интеграл будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b и осью Ох. В этом и заключается геометрический смысл.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

Физические задачи, решаемые с помощью определенного интеграла.

С помощью определенных интегралов решаются задачи на нахождение работы, скорости, пути, моментов инерции. Это осуществляется путем нахождения площадей, длин дуг, объемов и пр.

3. Теорема существования определенного интеграла. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Примечание автора. В методическом пособии теорема приведена без доказательства.

Свойства определенного интеграла.

Свойство1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если А=const, то

Доказательство.

Свойство2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Доказательство.

Свойство3. Если на отрезке [a,b], где а<b, функции f(x) и (х) удовлетворяют условию то

Доказательство. Рассмотрим разность

Каждая разность

Сл-но, неотрицательно каждое слагаемое, неотрицательны вся сумма и весь предел.

Свойство4. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то

Доказательство. По условию

Подставляя 2 последние выражения в неравенство получаем исходное неравенство.

Свойство5 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем

Отсюда где

Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будетто есть

Примечание автора. Доказательство приведено и в одном из следующих вопросов.

Свойство6. Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство если все эти три интеграла существуют.

Доказательство. Допустим сначала, что и составим интегральную сумму для функцииf(x) на отрезке [a,b].

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка, будем разбивать отрезок так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда

Переходя к пределу при получим исходное соотношение.

Если на основании доказанногоили

Поэтому имеем

Аналогично доказывается это свойство при любом взаимном расположении трех точек.