Лабраб 2 ЧМ
.docxФедеральное агентство связи
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
“Московский технический университет связи и информатики”
Кафедра информатики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
«Интерполяция функций»
по дисциплине
Численные методы
Выполнил: студент гр. БИН1907 Власов Андрей
Проверил: к.т.н., доцент Г.Сосновиков
Москва 2021 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. ЗАДАНИЕ
Общее задание, индивидуальный вариант 3
II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Выполнение 4-7
I. ЗАДАНИЕ
Общее задание к работе
1. Выбрать индивидуальное задание из табл.:
точку интерполяции x = a для интерполяции многочленом Ньютона;
точку интерполяции x = b для интерполяции многочленом Лагранжа;
2. Для интерполяции в точке x = a выбрать из таблицы с интерполируемой функцией 4 подходящих узла для построения многочленов 1, 2 и 3-ей степени.
3. Перенумеровать узлы интерполяции для каждого из методов
интерполяции. Занести перенумерованные узлы в таблицы.
4. Выполнить вручную интерполяцию по заданной формуле заданной точке
x = a или x = b многочленами 1–й, 2–й и 3–й степени:
заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);
записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени многочлена;
выполнить расчеты по интерполяционным формулам для каждой степени многочлена; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.
занести полученные результаты в таблицу; для многочленов 1–й и 2–й степени вычислить и занести в таблицы и оценки погрешности интерполяции: модули разности между текущим Pk(x) (Lk(x)) и следующим Pk+1(x) (Lk+1(x))
значением многочлена.
5. Решить задачу интерполяции в точке с точностью 0.0001 на компьютере.
6. Объяснить полученные результаты и сделать выводы.
Индивидуальный вариант задания
Рисунок 1 – Индивидуальный вариант №1
II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.12.
Выбор и нумерация узлов.
Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.06 по 1 формуле Ньютона
выбираем 4 узла из таблицы так, чтобы точка a = 0.06 оказалась между
узлами с номерами с 0 по 1 и добавляем узлы вправо:
Занесем в более удобную таблицу:
Ручной расчет по 1–й формуле Ньютона.
Заполним таблицу конечных разностей:
Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона для многочленов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним.
Определим значение q:
Значение многочлена 1-й степени в т. x=0.06:
Значение многочлена 2-й степени в т. x=0.06:
Значение многочлена 3-й степени в т. x=0.06:
Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности
полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:
Выражения для многочленов 1, 2 и 3 степени могут быть
получены после соответствующих преобразований формулы:
В нашем случае они будут иметь вид:
P1 = -4.209+ 0.76x
P2 = -4.1985 + 0.445x + 2.1x^2
P3 = -4.2 + 0.5x + 1.5x^2 + 2x^3
Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:
Можно утверждать, что разность между точным значением функции и
значением функции в т. x = 0.06 после 3-х итераций не превышает 0.0001.
2. Точка интерполяции для формулы Лагранжа b = 0.43.
Выбор и перенумерация узлов.
Для ручной интерполяции в точке x = b = 0.43 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 4 узла так, чтобы точка b = 0.43 оказалась в центре отрезка интерполяции: узлы с номерами с 6 по 9.
Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки x.
Перенумеруем узлы интерполяции симметрично относительно точки х = b для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицу вида:
Ручной расчет по формуле Лагранжа.
Запишем интерполяционные многочлены Лагранжа 1–й, 2–й и 3–й
степени и вычислим их значения в точке x = b = 0.43:
Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности
полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:
Выражения для многочленов:
L1 = 2.86x – 4.776
L2 = 3.9x^2 - 0.455x – 4.074
L3 = 2x^3+1.5x^2+0.5x-4.2
Вывод: получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством: |f(x)−Ln(x)|≤|Ln+1(x)−Ln(x)|
Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в т. x=0.43 после 3-х итераций не превышает 0.0001.
Компьютерный расчет по формуле Лагранжа.
Код программы и результат:
Рис. 2 – Программный код функции func()
Рис 3. – Программный код функции main()
Рис 4. – Результат работы программы
Вывод. Полученные выражения многочленов 1, 2 и 3-ей степени, а также их
значения в заданной точке b=0.43 совпадают до 4 знака после десятичной
точки с ручным расчетом.