задачи по физике

Министерство общего и профессионального образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

_______________________________________________________________

Вопросы и задания

по разделу “ Электричество”

Методические указания для самостоятельной работы

Санкт-Петербург

1998

УДК: 53

Вопросы и задания по разделу “ Электричество”. Методические указания к самостоятельной работе для студентов всех специальностей / Сост.:

Ю. Е. Зайцев, Г. Д. Лапин, С. Г. Федин ; СПбГЭТУ. СПб., 1998. 32 с. Содержат вводные, теоретические и индивидуальные задания по реше-

нию задач по темам раздела “ Электричество” курса общей физики. Предназначены для студентов всех специальностей СПбГЭТУ.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ, 1998

Предисловие

Методические указания предназначены для организации самостоятель- ной работы студентов в течение семестра и включают ряд тем, соответст- вующих рабочей программе курса физики технических университетов.

Вопросы и задания по каждой теме разбиты на три группы. Вводные за- дания очерчивают минимальный круг необходимых физических и математи- ческих понятий по теме. Теоретические задания предназначены для приоб- ретения навыков применения лекционного материала к решению практиче- ских задач с последующим их использованием при выполнении индивиду- альных заданий. Индивидуальные задания построены по принципу варьиро- вания объектов при единстве постановки проблемы. Такая структура, с од- ной стороны, делает возможным использование фронтальной методики и коллективное обсуждение узловых моментов решения, с другой стороны — не позволяет тривиально трансформировать варианты решений.

Во всех индивидуальных заданиях номер варианта (N) следует брать равным номеру, под которым фамилия студента стоит в списке группы (воз- можно соответствие номеру по зачетной книжке). Численные значения па- раметров А и К, встречающиеся в тексте заданий, например номер точки на рисунке, безразмерный коэффициент в формуле и т. д., а также обозначение рисунка M, необходимо брать из нижепредставленной таблицы. Относитель- ные диэлектрическая и магнитная проницаемости, если не оговорено особо, принимаются равными 1.

N	К	М	N	K	М	N	K	М	A
1	1	а	11	5	д	21	3	в	1
2	2	б	12	6	е	22	4	г	2
3	3	в	13	1	а	23	5	д	3
4	4	г	14	2	б	24	6	е	4
5	5	д	15	3	в	25	1	а	5
6	6	е	16	4	г	26	2	б	1
7	1	а	17	5	д	27	3	в	2
8	2	б	18	6	е	28	4	г	3
9	3	в	19	1	а	29	5	д	4
10	4	г	20	2	б	30	6	е	5

Следует помнить, что определение векторной величины предполагает указание ее модуля и направления, т. е. угла относительно горизонтальной оси Х (положительного — против часовой стрелки и отрицательного — в противоположном направлении) или проекций на оси координат.

3

1. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ИНДУКЦИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1.1.Вводное задание

1.1.1.Объясните понятия и термины: заряд q, элементарный заряд e, то- чечный и пробный заряды, линейная плотность заряда τ, поверхностная

плотность заряда σ, объемная плотность заряда ρ, электростатическое поле,

его напряженность E и индукция (электрическое смещение) D ; относи- тельная диэлектрическая проницаемость среды ε ; потоки векторов напря- женности ФE и индукции Ψ электрического поля; сторонние и связанные за- ряды. Укажите единицы перечисленных физических величин .

1.1.2. Дайте пояснения к следующим выражениям:

n

= const;

(1.1)

∑ q

k =1 k

q = ± Ne;

(1.2)

F =

1

(1.3)

q1q2 r ;

4πε0

εr 2

r

=

F

;

(1.4)

E

q

1

q

=

r

(1.5)

E

;

4πε0 εr 2

r

=

n

(1.6)

E

∑ Ek ;

Φ E =

k = 1

∫ EdS = ∫ En dS;

(1.7)

S

S

(1.8)

D = εε0 E ;

Ψ =

= ∫ Dn dS ;

(1.9)

∫ DdS

S

S

n

∫ DdS =

∑ qk = ∫ ρdV ;

(1.10)

S

k = 1

V

=

1

n

(1.11)

∫ Eds

∑ qk ;

s

ε0ε k = 1

div D = ∂DX

+ ∂DY + ∂DZ = ρ.

(1.12)

∂X

∂Y

∂Z

4

Сформулируйте определения, законы и принципы, представленные ука- занными выражениями.

1.1.3. Как с помощью силовых линий изображают картину поля напря-

женности E	и индукции D электрического поля? Что характеризует густота

линий E и D на карте поля? Как по картине поля определить направление

векторов E и D ? Каким образом элемент площади dS сопоставляется с век- торной величиной dS ? Как действует оператор div?

1.2.Теоретическое задание

1.2.1.Выведите формулу для напряженности поля точечного заряда (1.5), используя закон Кулона (1.3) и определение напряженности электриче- ского поля (1.4).

1.2.2.Используя принцип суперпозиции, получите выражение для на-

пряженности поля, которое создает в некоторой произвольной точке равно- мерно заряженный с линейной плотностью заряда τ тонкий прямолинейный стержень длиной ℓ 0 , когда:

а) точка расположена на оси стержня на расстоянии ℓ

от ближайшего

его конца

τ

1

E =

1

−

;

(1.13)

4πε 0 ℓ

ℓ + ℓ 0

б) точка расположена вне оси стержня

E =

;

E + E∏

(1.14)

E =

τ

(cosβ1 − cosβ2 ) ;

(1.15)

4πε 0εd

E∏ =

τ

(sin β2 − sin β1 ) ,

(1.16)

4πε0

εd

где E и E∏ — составляющие напряженности электрического поля в на-

правлениях, перпендикулярном и параллельном оси стержня; β1 и β2 — уг- лы между осью стержня и радиус-векторами r1 и r2 , проведенными из кон- цов стержня в данную точку поля; d — расстояние от оси стержня.

1.2.3. Поясните теорему Гаусса: поток вектора электрического смеще- ния через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, заключенных внутри этой поверхности. Для этого рас-

смотрите поток вектора электрического смещения через поверхность сферы с точечным зарядом в ее центре, а затем, используя свойство непрерывности линий электрического смещения и принцип суперпозиции, обобщите полу- ченные результаты для нескольких зарядов, заключенных внутри произволь- ной замкнутой поверхности. Покажите, что поток вектора электрического

5

смещения через замкнутую поверхность, создаваемый зарядом, находящимся вне этой поверхности, равен нулю.

1.2.4. Используя теорему Гаусса, получите выражение для напряженно- сти электрического поля, создаваемого на расстоянии r от центра (оси) сим- метрии равномерно заряженными:

а) бесконечным стержнем с линейной плотностью заряда τ

							τ
			E =							;	(1.17)
					2πε 0εr
	б) бесконечной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ
				E =			σ
									;		(1.18)
							2ε 0ε
	в) шаром радиуса R с объемной плотностью заряда ρ
	E =			R3ρ
								(вне шара)			(1.19)
				3ε0εr 2
	и			ρr
	E =					(внутри шара).					(1.20)
		3ε0ε

Покажите, что выражение (1.19) совпадает с напряженностью электрическо- го поля, создаваемого точечным зарядом, равным заряду шара и располо- женным в центре шара.

1.2.5. Выведите уравнение (1.12), согласно которому дивергенция элек- трического смещения равна объемной плотности заряда ρ в окрестности данной точки.

1.3.Индивидуальное задание

1.3.1.Найдите напряженность E A электростатического поля, создавае-

мого в точке А системой точечных зарядов, изображенной на рис. 1.1, М. Модули всех зарядов одинаковы: q = 2,0 нКл, ℓ = 0,5 м. Номер точки А на

рисунке и обозначение М рисунка следует брать из таблицы на с. 3.

1.3.2. На рис. 1.1, M ( ℓ = 0,5 м) приведены сечения равномерно заря-

женных с линейной плотностью заряда τ = 1,0 нКлм тонких бесконечных прямолинейных стержней. Определите напряженность электростатического

поля E A в точке А и силу FC , действующую на единицу длины стержня С со стороны других стержней.

1.3.3. В электростатической системе, описанной в п. 1.3.2, из точки А в точку В перемещается стержень длиной 1 м, расположенный перпендику- лярно плоскости рисунка. Определите потоки напряженности ФE и индукции

6

Ψ электростатического поля через плоскую поверхность, прочерчиваемую стержнем при его движении. Как изменятся эти потоки, если систему помес- тить в среду с ε = 2 ?

				В				1	С	В				1					2	1						2						3
																														4		5
																			С
				2																												С
Y					5				3			3		4					5	Y
									Y													В								ℓ
				4				ℓ										ℓ
																								X
				X											X														в
							а											б
										1				2					3							2				1		С
В 1 2					3			С												4
																										3				4		5
								4	5 Y										5	С Y
Y													В													В
				ℓ													ℓ											ℓ
														X														X
				X
							г											д												е
															Рис. 1.1
					1									1																1
								120°						0					45°													60°
Y					0			С	Y													Y				2				0
																			С
			2					3						2
																			3
																														С		3
				X											X
																												X
							а										б													в
1														1					2							2				0		1
					0			С
Y																			С					Y						120°
								3				Y			0
			2																3										С			3
				X																										X
																		X
							г												д													е

Рис. 1.2

1.3.4. На рис. 1.2, M приведены различные конфигурации, составленные из трех элементов: дуги окружности радиусом R (элемент 2) и двух прямоли- нейных элементов (1 и 3) конечной или полубесконечной (0 — ∞ ) длины (см. таблицу). Считая, что заряд по всем элементам распределен равномерно

7

с	линейной		плотностью		заряда		τ, определите		напряженность
E электростатического поля в точке 0.
		А	1		2		3	4	5
		R, м	2,0		0,5		1,0	0,4	1,0
		τ, нКл/м	200		80		100	50	200
		ℓ1	2R		3R		0 — ∞	R	2R
		ℓ 3	0 — ∞		R		R	2R	3R
		Шар	3R	R	Полый шар			Бесконечный слой
							3R
	R
				2R
			В				В		В
								3 ℓ	5 ℓ

а		б		в
Бесконечный слой	Бесконечный цилиндр			Полый бесконечный
с полостью				цилиндр
В	R	2R	2R
				1,5R
5 ℓ 2 ℓ 7 ℓ			R
		В		В
г		д		е

Рис. 1.3

1.3.5. На рис. 1.3, М показано тело, зависимость объемной плотности за- ряда которого от расстояния r до центра (плоскости, оси) симметрии имеет вид ρ(r) = (N + 10)r A5 , где ρ(r) — в мкКл/м3; r — в метрах. Найдите напря-

женность и индукцию электростатического поля в точке В. Для материала тела ε = 3; R = ℓ = 2,0 см. Постройте качественные графики зависимостей

Е(r) и D(r).

8

2. ÏОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ

2.1.Вводное задание

2.1.1.Объясните понятия и термины: потенциал ϕ ; изменение,

приращение, убыль потенциала; разность потенциалов Δϕ ; эквипотен-

циальная поверхность; электрический диполь, его плечо l и электри-ческий момент pe . Укажите единицы названных физических величин.

2.1.2. Дайте пояснения к следующим выражениям:

∫Edl = 0 ;

(2.1)

l

j =

W p

;

(2.2)

q

Dj = j1 - j2 =

A12

2

Edl ;

(2.3)

= ∫

q

1

1

j =

q

;

(2.4)

4pe0

er

n

j = ∑jk ;

(2.5)

k =1

¶j

+

¶j

+

¶j

(2.6)

E

= -grad j = -

¶x

l

l

¶z

l

;

x

¶y

y

z

Dj º Ñ2j º ¶

2

j

+

¶

2

j

+ ¶

2

j

= -

r

;

(2.7)

¶x 2

¶y 2

¶z 2

ee0

= ql ;

(2.8)

pe

´ E;

M = pe

(2.9)

W p = - peE .

(2.10)

2.1.3. Какие характеристики поля: скалярное, векторное, стационар-ное, вихревое, потенциальное, поле консервативных сил и т. д., можно приписать электростатическому полю? Как действуют: оператор градиент (grad), оператор ротор (rot), оператор набла Ñ (оператор Гамильтона), оператор Лапласа? Что такое циркуляция вектора? Каковы признаки поля консервативных сил? Как силовые линии электростатического поля ориентированы по отношению к эквипотенциальным поверхностям и

9

почему? За счет чего совершается работа перемещения заряда в электро- статическом поле?

2.2.Теоретическое задание

2.2.1.Используя теорему Стокса:

∫ A dℓ = ∫ rot A × dS ,		(2.11)
ℓ	S

где A — произвольный вектор, и теорему о циркуляции вектора напряжен- ности электростатического поля (2.1), покажите, что электростатическое по- ле — безвихревое:

rot E = 0 .

(2.12)

2.2.2.Покажите, что соотношение (2.3), связывающее разность потен- циалов с напряженностью электростатического поля, получается из опреде- лений потенциала (2.2) и напряженности (1.4) электрического поля.

2.2.3.Получите выражение для потенциала поля точечного заряда (2.4), считая известными соотношение (2.3) и формулу (1.5) для напряженности поля точечного заряда.

2.2.4. Покажите, что связь потенциала ϕ и напряженности E электро- статического поля (см. (2.6)) следует из связи потенциальной энергии тела, находящегося в поле консервативных сил, и действующей на это тело силы.

2.2.5. Докажите справедливость уравнения (2.7), связывающего распре- деление плотности заряда в пространстве с потенциалом1). Используйте тот факт, что оператор Лапласа Δϕ (не путайте с разностью потенциалов Δϕ !) равен дивергенции градиента, а также соотношения (1.12),(1.8) и (2.6).

2.2.6. Покажите, что потенциал, создаваемый в некоторой точке поля равномерно заряженным с линейной плотностью заряда τ стержнем длиной ℓ 0 , составляет:

а) для точек на оси стержня на расстоянии l от ближайшего его конца

j =	τ	ln	ℓ + ℓ 0	;	(2.13)
	4pee0
			ℓ

б) для точек вне оси стержня

j =	t		ln	tg(b2	2)	,	(2.14)
	4pee	0		tg(b	2)
			1

где β1 и β2 — углы между осью стержня и радиус-векторами, проведенны- ми из концов стержня в данную точку поля.

1 Уравнение (2.7) при ρ = 0 называется уравнением Лапласа

10