МА 2к4с в1,2

x2

3. Вычислить, перейдя к цилиндрическим координатам x2 y2 dxdxydz

					x2	y2
, где область ограничена линиями: z	36 x2 y2 ;		z
						3
.

При переходе к цилиндрическим координатам используем формулы:

В этом случае уравнения линий, ограничивающих заданную область , примут вид:

√

√

Найдем пересечение этих поверхностей: конуса и полусферы:

√

√

√

21

√

√

∫

∫

∫

√

√

∫

∫ (√

)

√

√

√

∫

[∫ (√

)

∫ (

)

]

√

√

√

∫

[

∫ (√

) [

] ∫ (

) ]

√

√

∫ (

[

]

)

∫ (

)

√

∫

22

4. Вычислить криволинейный интеграл ydl , где L –часть параболы от

L

точки А(0;0) до точки В(2;4).

Запишем уравнение параболы:

Вычислим производную:

Вычисляем криволинейный интеграл:

∫ √		∫ √				∫ √		(	)

(	)		]

23

5. Вычислить криволинейный интеграл ( y2 z2 )dx 2 yzdy x2dz , где L

L

x t
– часть кривой y t 2 от точки А(0;0;0) до точки В(1;1;1).
	3
z t

Имеем:

	( )	(	)
∫(	)	∫(	)

∫[

]

∫[

]

[ ]

24

Часть №2

1. Найдите геометрическое место точек, изображающих числа z,

		z 1		1
				1 .
удовлетворяющих системе неравенств Re z

Im z 1

Изобразим его графически:

25

2. Найти аналитическую функцию f(z), если задана ее мнимая часть

Im f (z) 10xy 6y и f (15) 1.

Функция имеет вид:

( )

( )

( )

Где:

( )

( )

( )

Полагаем, что функция дифференцируема, поэтому:

На основании одного из условий Коши-Римана:

Тогда:

Интегрируем:
∫(	)		( )
Для нашего случая:
( )	( )	(	)
При заданном значении имеем:

По условию:

(		)	(		)		( )

Тогда:

( ) ( )

26

Откуда:

Искомая функция:

( )

(

)

27

3. Вычислить Ln( 1 i)

Имеем комплексное число:

Для него находим модуль и аргумент:

√√

√

√

Записываем число в показательной форме:

√

Логарифм вычисляем по формуле:

( )

Это многозначная функция. Ограничимся главным значением , получим главное значение логарифма:

( ) √

28

4. Вычислить zdz , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки

l

z i и z 1 2i .

Имеем:

					̅
Воспользуемся формулой:
			∫ ̅	∫		∫
∫ ̅		(	)	(	)			(	)

29

5. Вычислить (12z5 4z3 1)dz , где АВ –отрезок прямой от точки

AB

z 1 до точки z i .

Подынтегральная функция является аналитической. Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

Тогда:

∫(		)	∫(		)
(	)	(		) (	)

30