МА 2к4с в1,2

Контрольная работа. Вариант №1

Часть №1

1. Вычислить, перейдя к полярным координатам, xdxdy, где область D

		D
	ограничена линиями: y2 4 y x2 0;	y2 8y x2 0;	y	x			; x 0
				3

Сделайте рисунок.

Решение:

Преобразуем уравнения линий, перейдем к полярным координатам,

используя соотношения:

Тогда заданные уравнения примут вид:

√

√

Сделаем чертеж:

Вычислим интеграл:

1

∫

∫

∫	[		]		∫

∫		[		]

2

2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

	y	e	;	y ln x;	x 1. Сделайте рисунок.
		x

Сделаем чертеж.

Вычислим площадь заштрихованной фигуры:

	∫ ∫ ∫ [		]

∫		∫	|	|

] [

] ∫

3

x2

3. Вычислить, перейдя к цилиндрическим координатам x2 y2 dxdxydz

		9					11
	, где область ограничена линиями: z			x2 y2 ;		z				x2	y2 .
		2						2

При переходе к цилиндрическим координатам используем формулы:

В этом случае уравнения линий, ограничивающих заданную область , примут вид:

Найдем пересечение этих поверхностей: конуса и параболоида:

Из двух корней нас устраивает положительный:

4

	∫ ∫ ∫

∫	∫ (				)

∫ (						)	∫ ( )

∫

5

dl

4. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой от

L x y

точки А(0;-2) до точки В(4;0).

Запишем уравнение прямой АВ:

Вычислим производную:

Вычисляем криволинейный интеграл:

∫

∫

√

∫

√

∫

√

√

(

)] √

6

5. Вычислить криволинейный интеграл ydx zdy xdz , где L первый

L

виток винтовой линии x=cost; y=sint; z=t.

Имеем:

∫

∫

(

)

∫ (

)

∫ (			)	∫ (	)
|					|
[			] ∫ (	)

7

Часть №2

1. Найдите геометрическое место точек, изображающих числа z,

		z 1 i			2
удовлетворяющих системе неравенств Re z 1 .
Im z 1

Изобразим его графически:

8

2. Найти аналитическую функцию f(z), если задана ее действительная

часть Re f (z) x2 y2 2x и		f (i) 2i 1.
Функция имеет вид:
( )	(	)	( )
Где:
(	)

( )

Полагаем, что функция дифференцируема, поэтому:

На основании одного из условий Коши-Римана:

Тогда:
Интегрируем:
∫(	)			( )
Для нашего случая:
( )			(	( ))
При заданном значении имеем:
По условию:
( )	(		(	))
Тогда:

( ) ( )

Откуда мнимая часть:

( )

Искомая функция:

9

( )

(

)

10