- •1. Случайные события
- •1.1. Понятие теории вероятностей
- •1.2. События и их вероятности
- • Виды событий
- • Вероятность события
- • Принцип практической невозможности маловероятных событий
- • Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу,
- •1.3. Элементы комбинаторики
- • Перестановки, сочетания и размещения без повторений
- • Перестановки
- • Размещения
- • Правило сложения и правило умножения комбинаций
- • Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
- • Сочетания с повторениями
- • Размещения с повторениями
- •1.4. Классическое определение вероятности:
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- • Зависимые и независимые события
- • Теорема умножения вероятностей независимых событий
- • Задачи на теоремы сложения и умножения
- • Условная вероятность
- • Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •1.7. Формула полной вероятности
- •1.8. Формулы Байеса
- •1.9. Независимые испытания и формула Бернулли
- •1.10. Формула Пуассона
- •1.11. Локальная теорема Лапласа
- •1.12. Интегральная теорема Лапласа
- •1.13. Статистический подход к определению вероятности
- • и обратная задача
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие и виды случайных величин
- •2.2. Дискретная случайная величина
- • Математическое ожидание дискретной случайной величины
- • Формула для нахождения дисперсии
- • Многоугольник распределения
- • Вероятность попадания в промежуток
- •2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения
- • Биномиальное распределение вероятностей
- • Гипергеометрическое распределение вероятностей
- •2.4. Непрерывная случайная величина
- • Вероятность попадания в промежуток
- • функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
- •2.5. Распространённые виды непрерывных распределений
- • Равномерное распределение вероятностей
- • Показательное распределение вероятностей
- • Нормальный закон распределения вероятностей
- •Решения и ответы
Контрольное задание
Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал:
Задача 95
Вбилете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8, третью – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить не менее 2 задач.
Тут нужно использовать теоремы умножения и умножения, и могут возникнуть
накладки с обозначениями. В образце решения я обозначил p1 0,9, |
p2 0,8, |
p3 0,7 , |
авероятности значений случайной величины – через p(0), p(1), p(2), p(3) .
Ина самом деле таких заданий много, и это всегда праздник!
2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения
Как же я люблю вступления одной строкой:
Геометрическое распределение вероятностей
И геометрия тут не при чём.
Пусть проводится серия испытаний, в каждом из которых случайное событие A может появиться с вероятностью p ; причём, испытания заканчиваются при первом же
появлении данного события. Тогда случайная величина X , характеризующая количество совершённых попыток, как раз и имеет геометрическое распределение.
Рассмотрим, например, такое событие: A – в результате броска монеты выпадет
орёл.
Начинаем подбрасывать монету. Совершенно понятно, что вероятность появления орла в любом испытании равна p 12 , и наша задача заключается в том, чтобы
проанализировать – как скоро появится первый орёл (после чего серия закончится). Составим закон распределения случайной величины X – количества проведённых бросков.
Если x 1, то это означает, что орёл выпал в первой же попытке. Вероятность этого события равна:
p1 p 12
Если x 2 , то в первой попытке выпала решка (вероятность q 1 p 1 2 ), а во второй – орёл. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:
p2 qp 12 12 14
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
112 |
|
Если x 3, то в первых двух испытаниях появились решки, а в третьем – орёл. По той же теореме:
p3 qqp 12 12 12 18
Если x 4 , то первый орёл появился лишь в четвёртом испытании: p4 qqqp 12 12 12 12 161
…сколько же можно подбрасывать монету? Теоретически – до бесконечности.
И перед нами пример дискретной случайной величины, которая принимает бесконечное и счётное количество значений. В общем виде её закон распределения записывается следующим образом:
Вероятности pi представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом p и основанием q . Отсюда и название – геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма такой прогрессии равна:
p pq q2 p q3 p ... |
|
p |
|
p |
1, что полностью соответствует вероятностному |
|
|
|
|||
1 |
q |
|
p |
|
|
смыслу задачи. |
|
|
|
|
В частности, для примера с «волшебной» монетой:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма вероятностей составляет: |
|
|
|
|
|
|
... |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
8 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Однако жизнь такова, что всё когда-то заканчивается, и поэтому в практических задачах количество испытаний почти всегда ограничивается. На «грубую» такое распределение тоже можно считать геометрическим, и сейчас мы разберём классический пример:
Задача 96
Стрелок производит несколько выстрелов в цель до первого попадания, имея всего 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины X , математическое ожидание M ( X ) , дисперсию
D( X ) , где X – количество произведённых выстрелов. Построить многоугольник и функцию распределения данной случайной величины. Найти P X M (X ) (X ) .
…если что-то позабылось, то я заботливо проставлю ссылки, решаем:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
113 |
|
По условию, вероятность попадания в каждом испытании равна p 0,6 . Тогда вероятность промаха: q 1 p 1 0,6 0,4 .
Составим закон распределения случайной величины X :
1) x 1
Это означает, что стрелок попал с 1-й попытки и на этом испытания закончились: p1 p 0,6
2) x 2 – в первом испытании промах, во втором – попадание. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:
p2 qp 0,4 0,6 0,24
3) x 3 – попадание с третьей попытки, мимо-мимо, попал: p3 qqp 0,4 0,4 0,6 0,096
И, наконец:
4) x 4
Здесь стрелок может промахнуться или попасть, но испытания заканчиваются в любом случае. Вместе с патронами. По теоремам умножения вероятностей зависимых и сложения вероятностей несовместных событий:
p4 qqqq ...
Таким образом, искомый закон распределения:
Обязательно выполняем проверку:
p1 p2 p3 p4 0,6 0,24 0,096 0,064 1 , что и требовалось проверить.
Построим многоугольник распределения:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
114 |
|
Вычислим M ( X ) и D( X ) . Для геометрического распределения существуют готовые формулы нахождения математического ожидания и дисперсии:
M ( X ) 1p , D( X ) pq2 , но нам ими воспользоваться не удастся – по той причине, что количество испытаний не бесконечно.
Поэтому придётся использовать общий алгоритм. Заполним расчётную таблицу:
Математическое ожидание лежит готовенькое: M (X ) xi pi 1,624 – это
среднеожидаемое количество выстрелов (при многократном повторении таких серий из 4 выстрелов).
Дисперсию вычислим по формуле:
D( X ) ... – это мера рассеяния количества выстрелов относительно математического ожидания.
Составим функцию распределения вероятностей:
0, |
если |
x 1 |
||
0,6, |
если |
1 x 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
если |
2 x 3 |
|
F (x) 0,84, |
||||
0,936, |
если |
3 x 4 |
||
|
|
|
|
|
1, |
если |
x 4 |
||
|
|
|
|
|
Выполним чертёж:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
115 |
|
Найдём P X M (x) (x) – вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания не более чем на ( X ) .
Сначала вычислим среднее квадратическое отклонение:
(X ) D(X ) 0,810624 0,9
затем – требуемую вероятность:
P X M (X ) ( X ) P ( X ) X M ( X ) ( X )
P M ( X ) ( X ) X M ( X ) ( X ) ...
F 1,624 0,810624 F 1,624 0,810624 0,84 0 0,84 – вспоминаем, что это за интервал, и почему вероятность получилась столь большой ;)
Готово!
Но при всей кажущейся простоте, у этого задания существуют подводные камни. Главное коварство состоит в том, условие может быть сформулировано по такому же шаблону, но случайная величина быть ДРУГОЙ. Например:
X– количество промахов.
Вэтом случае закон распределения вероятностей примет следующий вид:
Здесь p3 qqqp q3 p (0,4)3 0,6 0,0384 – вероятность того, что будет 3 промаха
(и в 4-й попытке попадание); p4 qqqq q4 (0,4)4 0,0256 – вероятность того, что стрелок совершит 4 промаха.
Естественно, что числовые характеристики и содержательные выводы этой задачи будут несколько другими, однако сам закон распределения сохранит свой «геометрический» характер.
Вот ещё одна хитрая вариация, которая мне встречалась на практике:
X – количество неизрасходованных патронов.
Закон распределения этой величины таков:
Проанализируйте данный случай самостоятельно. Кстати, в примере, который мы прорешали, случайную величину X можно эквивалентно сформулировать, как
Количество израсходованных патронов.
Таким образом, к решению подобных задач тоже нельзя подходить формально – во избежание ошибок, ВСЕГДА ДУМАЙТЕ ГОЛОВОЙ и анализируйте реалистичность полученных результатов. И тогда полученное значение M ( X ) 4 в разобранной задаче
вас явно насторожит :)
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
116 |
|