9283_Зикратова_Курсовая работа_11 вариант_Исследование линейной цепи в переходных и установившемся периодическом режимах

1.3. Нахождения решения уравнений состояния, используя

численный метод Эйлера

Значения нулевого шага - UC(0-) = UC0 = 0 В, iL(0-) = iL0 = 16 А.

Пусть ∆t =				1		min {−					1		;−		1			} =	0,27…		≈ 0,05 с
																			5
			5
										1					2
iL′ =	40	UC −					90	iL		+		1560
	23											23
{							23
			22						8					62
UC′ = −					UC −					iL		+
			23
							23					23

Первый шаг при t ≈ 0,05 с:

{ iL1 = iL0 + ∆t i′L0 = 16 + 0,05 (4023 0 − 2390 16 + 156023 ) ≈ 16,28 UC1 = UC0 + ∆t UC0′ = 0 + 0,05 (− 2223 0 − 238 16 + 6223) ≈ −0,15

Второй шаг при t ≈ 0,11 с:

{iL2 = iL1 + ∆t i′L1 = 16,28 + 0,05 (− 4023 0,15 − 2390 16,28 + 156023 ) ≈ 16,49 UC2 = UC1 + ∆t UC1′ = −0,15 + 0,05 (2223 0,15 − 238 16,28 + 6223) ≈ −0,308

Третий шаг при t ≈ 0,16 с:

{iL3 = iL2 + ∆t i′L2 = 16,49 + 0,05 (− 4023 0,308 − 2390 16,49 + 156023 ) ≈ 16,64 UC3 = UC2 + ∆t UC2′ = −0,15 + 0,05 (2223 0,308 − 238 16,49 + 6223) ≈ −0,45

Аналогичным образом рассчитываются другие значения iL , UCn

1.4. Построение аналитических и численных решений уравнений

состояния, совмещение их попарно

Значения iL, UC, рассчитанные численным способом (метод Эйлера),

представлены в таблице 1.1; значения iL, UC, рассчитанные аналитическим способом (iL(t) = 16 + 2,075e−1,178t − 2,075e−3,692t и UC(t) = −3 + +3,264e−1,178t − 0,264e−3,692t), представлены в таблице 1.2

11

Таблица 1.1

t	iL	UC
0	16,000	0,000
0,05	16,283	-0,155
0,11	16,491	-0,308
0,16	16,640	-0,457
0,22	16,744	-0,601
0,27	16,812	-0,739
0,33	16,853	-0,872
0,38	16,873	-0,998
0,43	16,876	-1,118
0,49	16,868	-1,232
0,54	16,851	-1,340
0,60	16,827	-1,442

	Таблица 1.2
t	i	U
	L	C
0	16,000	0,000
0,05	16,247	-0,153
0,11	16,435	-0,303
0,16	16,574	-0,448
0,22	16,674	-0,588
0,27	16,744	-0,723
0,33	16,789	-0,851
0,38	16,816	-0,974
0,43	16,827	-1,091
0,49	16,826	-1,202
0,54	16,816	-1,308
0,60	16,799	-1,408

Графики численных и аналитических решений для iL и UC представлены на рисунках 1.4 и 1.5 соответственно:

17,000
16,900	iL, А
16,800
16,700
16,600
16,500
16,400
16,300
16,200
16,100
16,000
15,900								t, с
0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
		Метод Эйлера		Аналитическое выражение

Рис. 1.4 – Численное и аналитическое решения для iL

12

0,000

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

t, с 4

-0,500

-1,000

-1,500

-2,000

-2,500

-3,000

UC, В

-3,500

Метод Эйлера		Аналитическое выражение

Рис. 1.5 – Численное и аналитическое решения для UC

Как видно из рис. 1.4 и рис. 1.5 аналитические и численные решения для

iL(t) и UC(t) практически совпадают.

13

2. АНАЛИЗ ЦЕПИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ ПРИ

АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

2.1. Определение функции передачи HU(s) = Uн(s) / U0(s)

Функция передачи определяется для цепи, представленной на рис. 2.1,

методом пропорциональных величин:

Рис. 2.1

Исходные данные: zC = 1 / Cs = 2 / s, zн = z2 = 1, z4 = 4, z1 = 0,5, zL = Ls = 0,1s Пусть Iн’ = 1 → Uн’ = Iн’ zн = 1, UC’ = Iн’ zC = 2 / s

) U4’ = UC’ + Uн’ = 2 / s + 1 = (2 + s) / s; 1) I2’ = Iн’ + I4’ = 1 + (2 + s) / (4s) = (5s + 2) / (4s); U2’ = I2’ z2 = 1 (5s +2) / (4s) = (5s +2) / (4s)

) UL’ = U2’ + U4’ = (5s + 2) / (4s) + (2 + s) / s = (9s + 10) / (4s); IL’ = UL’ / zL = (9s +

+10) / (0,4s2) 2) I1’ = I2’ + IL’ = (5s +2) / (4s) + (90s + 100) / (4s2) = (5s2 + 92s +

+100) / (4s2); U1’ = I1’ z1 = (5s2 + 92s + 100) / (8s2)

) U0’ = U1’ + UL’ = (5s2 + 92s + 100) / (8s2) + (9s+10) / (4s) = (5s2 + 92s + 100 + + 18s2 + 20s) / (8s2) = (23s2 + 112s + 100) / (8s2)

H(s) =	Uн′	(s)	=	8s2
	U′	(s)		23s2+112s+100
	0

2.2. Определение нулей и полюсов функции передачи

H(s) = 0 при s = 0 – нуль функции передачи. Для определения полюсов функции передачи приравняем знаменатель к нулю:

14

s2 +	112	s +	100	= 0 → s1,2	=	−56±2√209
	23		23			23

На рис. 2.2 представлено расположение на комплексной плоскости

полюсов и нулей передаточной функции:

																													0,5											Im(s)
																													0,4
																													0,3
																													0,2
																													0,1																	Re(s)
																																				0
-	4	-								3	-								2	-								1	0											1
																													-0,1
																													-0,2
																													-0,3
																													-0,4
																													-0,5

Рис. 2.2

2.3. Определение переходной h1(t) и импульсной h(t) характеристик

для выходного сигнала

													−1					H(s)										−1											8s
																																																									−56 + 2√209										−56 − 2√209
					h1(t) = L											[						] =					L				[																			], s1 =																, s2 =
																			s																23s2+112s+100																										23						23
H(s)				=				8									s											=		8					(				A							+									B									),
															112						100
s							23						s2+						s+											23								s+	56 − 2√209														s+		56 + 2√209
															23							23
																																						23																		23
8	A =					8		H(s)/s (s – s )|																									=			836 − 112√209																	≈ -0,163
					23																								s1									4807
23																						1
8	B =					8		H(s)/s (s – s )|																									=			836 + 112√209																	≈ 0,511
					23																								s2									4807
23																						2
h1(t) = -0,163 e-1,178t + 0,511 e-3,692t
																																							8s2
					h(t) = L−1[H(s)] = L−1																										[																		], s1 =							−56 + 2√209										, s2 =	−56 − 2√209
																																		23s2+112s+100																											23						23
H(s) =								8							s2								=					8		(									C				+											D						+ 1), E = ( )								=		8
														112						100
							23					s2+					s+											23									56 − 2√209																56 + 2√209																	23
																																	s+														s+																			→∞
														23						23
																																						23															23
8		C =			8			H(s) (s – s )|																					=			−93632 + 7944√209																						≈ 0,192
23					23																	1																110561
																											1

15

8	D =	8	H(s) (s – s )|		= -	93632 + 7944√209		≈ - 1,886
23		23	2		110561
				2

h(t) = 0,192 e-1,178t - 1,886 e-3,692t + 238 ( )

2.4. Определение изображения по Лапласу входного одиночного

импульса

Для импульса, изображённого на рис. 2.3, оригинал входного напряжения: U0(t) = Umδ(t) − 2Umδ (t − t2и) + Umδ(t − tи).

Рис. 2.3

Um(1−2 −st2и+ −stи)

	Тогда изображение по Лапласу: U0(s) =		=
		s

= 8s − 16s e−0,4s + 8s e−0,8s, где tи = 0,8, T = 1,6, Um = 8

2.5. Определение напряжения Uн(t) на выходе цепи, используя

функцию передачи H(s)

Uн(s) = H(s) U0(s) = (

8

−

16

e−0,4s

+

8

e−0,8s)

8s2

=

s

s

23s2+112s+100

s

16

	64s			128s −0,4s		64s −0,8s
=			-		+
	23s2+112s+100			23s2+112s+100		23s2+112s+100

Uн(t) = (-1,304 e-1,178t + 4,088 e-3,692t) 1( ) – (-2,608 e-1,178 (t – 0,4) +

+8,176 e-3,692 (t – 0,4)) 1( − 0,4) + (-1,304 e-1,178 (t – 0,8) + 4,088 e-3,692 (t – 0,8))

1( − 0,8)

0, < 01( − 0) = {0,5, = 0 1, > 0

2.6. Построение графиков переходной и импульсной характеристик

цепи, а также входного и выходного сигналов

На рис. 2.4 и 2.5 показаны графики переходной, импульсной

характеристик и входного, выходного сигналов соответственно:

0,5

h1, h

t, с

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

-0,5

-1

-1,5

-2

h1 h

Рис. 2.4

17

10,0
8,0	U0 (Uн), В
6,0
4,0
2,0								t, с
0,0
0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
-2,0
-4,0
-6,0
-8,0
-10,0
			Выходной сигнал		Входной сигнал
				Рис. 2.5

18

3. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ

АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

3.1. Нахождение и построение АФХ, АЧХ и ФЧХ функции передачи

цепи

	A			8 2
АЧХ: A(ω) = |H(jω)| =	ч	=									, график АЧХ
	A		√(100−23		2)2	+112	2		2
	з

представлен на рис. 3.1

0,4

|HU(jω)|

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

ω, с-1

0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 3.1

ФЧХ: Фн(ω) = arg (H(jω)) = Фч – Фз = (−80 2) − arctg (100−23112 2)

0		0, = 0		arctg (	112ω			) , 100 − 23ω2 ≥ 0
					100−23ω		2
Фч = (		) = {, ≠ 0	, Фз = {
	−8 2					112ω				2
				π + arctg (		100−23ω2			) , 100 − 23ω		< 0

График ФЧХ представлен на рис. 3.2:

19

140
Ф	н	(ω), 0
120
100
80
60
40
20											ω, с-1
0
0		5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

Рис. 3.2

	−8 2			184 4−800 2				+	896 3
АЧХ: H(jω) =			=
	2			(100−23	2 2	+(112 )	2		(100−23	2 2	+(112 )	2
	(100−23	)+112			)					)

График АЧХ представлен на рис. 3.3:

		0,25
			j Im H(jω)
		0,2
		0,15
		0,1
		0,05
			ω = 0					ω → ∞
		0
-0,1	-0,05	0	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4
									Re H(jω)
		-0,05

Рис. 3.3

20