9283_Зикратова_Курсовая работа_11 вариант_Исследование линейной цепи в переходных и установившемся периодическом режимах

3.2. Определение полосы пропускания цепи по уровню 0,707|H(jω)|max
Из графика АЧХ, представленного на рис. 3.1, |H(jω)| → |H(jω)|max ≈ 0,35
при ω → ∞, 0,707|H(jω)|max ≈ 0,707 0,35 = 0,24745 ≈ 0,25 →
→ω(0,707|H(jω)|max) ≈ 4 → ∆ωпп = [4; +∞] или ∆ωпп ≈ [4; 50]
3.3. Нахождение и построение амплитудного и фазового спектров
апериодического входного сигнала и определение ширины спектра
по уровню 0,1|F(jω)|max
U0(s) =	8	−	16		e	−0,4s	+	8	e	−0,8s		=	8		(1 − e	−0,4s	)	2	;
	s		s					s
		8 (1 − e−0,4jω)2 =									8	(e−0,2jω(e0,2jω								2
U0(jω) =																			− e−0,2jω))		=
		jω									jω
2
= 4j4j2 jω8 (e0,2jω − e−0,2jω)2e−0,4jω = 32jω																sin2(0,2ω) e−0,4jω =
= 32 sin2(0,2ω) ej(π2 −0,4ω) =													0	( ) Ф0( )
ω
ω = 0: A0(ω) = 32							2(0,2 )				= 0,
						→0
A0(ω) = 0: ω = 0, 5π, 10π, 15π, 20π, …
Ф (ω) =			− 0,4 =					− 2
0		2					2		5
Графики спектров A0(ω) и Ф0(ω) представлены на рис. 3.4 и 3.5 соответственно:
				5
			4,5			A0(ω)
				4
			3,5
				3
			2,5
				2
			1,5
				1																	ω, с-1
			0,5
				0
					0			10				20			30				40	50	60
															≈ ∆ωпп
															Рис. 3.4
															21

Рис. 3.5

Из графика на рис. 3.4 ширина спектра, определённая по 10%-ому критерию,

∆ωпп ≈ [6; 57]

3.4. Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.

Исходя из сопоставления входных спектров сигнала (рис. 3.2 и рис. 3.4) и

частотных характеристик цепи (рис. 3.1) можно считать, что почти половина первого лепестка амплитудного спектра (где максимальные амплитуды) входного сигнала не укладывается в полосу пропускания и фазочастотная характеристика в этой полосе близка к показательной,

значит при прохождении через цепь входной сигнал будет скорее всего значительно искажен.

22

4. АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ

ВОЗДЕЙСТВИИ.

4.1. Разложение в ряд Фурье заданного входного периодического

сигнала. Построение его амплитудного и фазового дискретных

спектров

Входной периодический сигнал задан на рис. 4.1:

Рис. 4.1

2

[ ( )]|

32

sin2 (

π

k) ej

π

(1−k) =

( ) Ф ( ),

=

=1

=

2

0

πk

4

ω1 = 54

Значения Ak и Фk приведены в таблице 4.1:

23

	Таблица 4.1
k	A	Ф рад
	k	k,
0	0	-
1	5,09	0
2	5,10	-1,57
3	1,70	-3,14
4	0	-
5	1,02	0
6	1,70	-1,57
7	0,73	-3,14
8	0	-
9	0,56	0
10	1,02	-1,57
11	0,47	-3,14
12	0	-
13	0,39	0
14	0,73	-1,57
15	0,34	-3,14
16	0	-
17	0,30	0
18	0,57	-1,57
19	0,27	-3,14
20	0	-
21	0,24	0
22	0,46	-1,57

Амплитудный спектр входного сигнала приведён на рис. 4.2:

6

	Ak(kω1)
5
4
3
2
1
0	4 ω1	8 ω1	12ω1	16 ω1	20 ω1
0

ω, с-1

Рис. 4.2

Фазовый спектр входного сигнала приведён на рис. 4.3:

Ф ( 1) = π2 (1 − k)

24

0	5ω1	10 ω1	15 ω1	20ω1
0
-0,5				ω, с-1

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

Фk(kω1), рад

-3,5

Рис. 4.3

Разложим входной сигнал в ряд Фурье, выбрав Ak ≥ 0,1 Akmax из таблицы

4.1:

U01(t) = A20 + ∑k=1 Ak cos(kω1t + Фk), ω1 = 2πT = 1,62π = 5π4 , A0 = 0 →

→ U0а(t) = 5,09 cos (54 + 0) + 5,1 cos (104 − 1,57) +

+1,7 cos (154 − 3,14) + 1,02 cos (254 − 0) + 1,7 cos (304 − −1,57) + 0,73 cos (354 − 3,14) + 0,56 cos (454 − 0) +

+1,02 cos (504 − 1,57) + 0,73 cos (704 − 1,57) + 0,57 cos (904 −

−1,57)

25

4.2. Построение входного периодического сигнала и его

аппроксимации отрезком ряда Фурье.

15

U0а, U0

10

5

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

t, с

-5

-10

-15

U0a(t) U0(t)

Рис. 4.4 – Аппроксимация отрезком ряда Фурье

4.3. Построение амплитудного и фазового дискретных спектров

выходного периодического сигнала. Запись напряжения Uн(t) на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье

Akвых = |HU(jkω1)| Ak, Фkвых = Фн(kω1) + Фk(kω1), Фk(kω1) = 1,57 (1 – k)

0

0, = 0

Фч = (

) =

{ , ≠ 0

, Фн(ω) = Фч – Фз, Фkвых = Фч – Фз + Фk(kω1)

−8( 1)2

arctg (

112kω1

) , ≤

10

≈ 0,53

2

Фз = {

100−23(kω1)

√23 3,925

, ω1 =

2

=

5

= 3,925

с-1

112kω1

10

4

π + arctg (

) , >

≈ 0,53

100−23(kω )2

√

23 3,925

1

Значения, необходимые для построения амплитудного и фазового спектров, а

также для построения аппроксимации Фурье сведены в таблицу 4.2:

26

						Таблица 4.2
k	Ф рад	Ф	рад	Ф	рад	Ф	рад	Ф		рад	A	|H (jkω )|		A
	k,	ч,		з,		н,		kвых,			k	U	1	kвых
0	-	0		0		0			-		0		0	0
1	0	3,14		2,094		1,05			1,05		5,09	0,2427		1,24
2	-1,57	3,14		2,551		0,59			-0,98		5,10	0,3113		1,59
3	-3,14	3,14		2,736		0,40			-2,74		1,70	0,3302		0,56
4	-	3,14		2,834		0,31			-		0	0,3376		0
5	0	3,14		2,894		0,25			0,25		1,02	0,3412		0,35
6	-1,57	3,14		2,935		0,21			-1,36		1,70	0,3432		0,58
7	-3,14	3,14		2,964		0,18			-2,96		0,73	0,3444		0,25
8	-	3,14		2,985		0,15			-		0	0,3452		0
9	0	3,14		3,003		0,14			0,14		0,56	0,3457		0,19
10	-1,57	3,14		3,016		0,12			-1,45		1,02	0,3461		0,35
11	-3,14	3,14		3,027		0,11			-3,03		0,47	0,3464		0,1619
12	-	3,14		3,037		0,10			-		0	0,3467		0
13	0	3,14		3,045		0,10			0,10		0,39	0,3468		0,13
14	-1,57	3,14		3,051		0,09			-1,48		0,73	0,3470		0,25
15	-3,14	3,14		3,057		0,08			-3,06		0,34	0,3471		0,12
16	-	3,14		3,063		0,08			-		0	0,3472		0
17	0	3,14		3,067		0,07			0,07		0,30	0,3472		0,10
18	-1,57	3,14		3,071		0,07			-1,50		0,57	0,3473		0,20
19	-3,14	3,14		3,075		0,07			-3,07		0,27	0,3474		0,09
20	-	3,14		3,078		0,06			-		0	0,3474		0
21	0	3,14		3,081		0,06			0,06		0,24	0,3474		0,08
22	-1,57	3,14		3,084		0,06			-1,51		0,46	0,3475		0,16

Амплитудный спектр выходного напряжения приведён на рис. 4.6:

1,8

Akвых(ω)

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
0	5	10	15	20	ω, с-1

Рис. 4.6

27

Фазовый спектр выходного напряжения приведён на рис. 4.7:

1,5
1
0,5				ω, с-1
0
0	5ω1	10ω1	15 ω1	20 ω1
-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

-3,5 Фkвых(kω1), рад

Рис. 4.7

Для выходного сигнала параметры сведены в таблицу 4.3:

Таблица 4.3

k	Фkвых, рад	Akвых
1	1,05	1,24
2	-0,98	1,59
3	-2,74	0,56
5	0,25	0,35
6	-1,36	0,58
7	-2,96	0,25
9	0,14	0,19
10	-1,45	0,35
14	-1,48	0,25
18	-1,50	0,20
11	-3,03	0,16

Разложим выходной сигнал в ряд Фурье, взяв значения Фkвых и Akвых из таблицы 4.3 (Akвых ≥ 0,1 Akвых max из рис. 4.6):

28

Uна1(t) = 1,24 cos (54 + 1,05) + 1,59 cos (104 − 0,98) +

0,56 cos (154 − 2,74) + 0,35 cos (254 + 0,25) + 0,58 cos (304 − −1,36) + 0,25 cos (354 − 2,96) + 0,19 cos (454 + 0,14) +

+0,35 cos (504 − 1,45) + 0,25 cos (704 − 1,48) + 0,2 cos (904 − −1,5) + 0,16 cos (554 − 3,03)

4.4. Построение графика напряжения Uн(t) на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.

График аппроксимации выходного сигнала представлен на рис. 4.7:

3
	Uн
2
1
0
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	3,2
-1																t, с
-2

-3

-4

-5

Рис. 4.7

29

15

U0а

10

5

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

t, с

-5

-10

-15

30