Matlogika,_teoriya_mnozhestv_4365366 (1)
.docx№1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
№2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
L – слева, R – справа, W – ослабление, P - перестановка
№3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
t
|
|
|
|
|
№4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- сокращение
аналогично
№5.
1) Предположим, что все формулы выводимы из Г, тогда возьмём любую формулу С. По предположению и , тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
t
|
|
|
|
|
с помощью правил перестановок и сокращений получим , значит Г – противоречивое множество.
2) Предположим, что Г – противоречивое множество, тогда
|
|
1. Построим биекцию между множеством всех таких рядов и декартовым произведением Q (множества рац. чисел) на себя счётное число раз, сопоставив ряд последовательности . Ясно, что |QN| = |NN|, т.к. Q счётно (где N множество нат. чисел, AB — множество функций из B в A). Теперь имеем неравенства |NN| |(2N)N| = |2(N x N)| = |2N| = C и |NN| |2N| = C, так что по теореме Кантора - Бернштейна ответ - континуум.
2. Построим биекцию, сохраняющую порядок, из левой части в правую. Элементы (n, x) отправим в (n, x) (где — значок принадлежности), а элементы из второго слагаемого отправим в (n, 2) . То, что это биекция, очевидно. Она сохраняет порядок на элементах каждого слагаемого по отдельности, и все элементы первого слагаемого переходят в элементы, меньшие всех образов элементов второго слагаемого, так что биекция сохраняет порядок.
3. Используем лемму Цорна. Пусть X наше упорядоченное множество, C цепь. Возьмём множество всех цепей в X, содержащих C, обозначим это множество через M. В нём порядок получается из отношения включения цепей. Нам нужен максимальный элемент в M, по условию. Лемма Цорна говорит, что такой элемент существует, если любая непустая цепь в M имеет верхнюю грань (тут ещё важно, что M непусто, оно содержит C).
Итак, пусть L непустая цепь в M, это семейство цепей в X, любые два из которых связаны отношением включения. Возьмём объединение всех элементов L, обозначим его D. Это подмножество X, содержащее все элементы L, так что остаётся проверить, что D цепь. Пусть a, b D. По определению, найдутся A, B L такие, что a A, b B. Т.к. L цепь, то, не умаляя общности, A подмножество B. Следовательно, a, b B. Так как B цепь, то a b или b a. И так для всех a, b D, то есть D — это цепь.