- •Элементы классической и зонной теории твердых тел. Основные положения классической теории электропроводности металлов
- •Работа выхода электрона из металла.
- •Контактная разность потенциалов.
- •Термоэлектрические явления
- •Электрический ток в вакуумном диоде
- •Собственная и примесная проводимость полупроводников в рамках классической теории электропроводности.
- •Элементы зонной теории твердых тел.
Элементы классической и зонной теории твердых тел. Основные положения классической теории электропроводности металлов
Электронная теория проводимости металлов была впервые создана в 1900 г. физиком Друде и впоследствии разработана Лоренцем. Основным ее положением является то, что носителями тока в металлах служат свободные электроны. Это подтверждалось рядом классических опытов.
В опыте Рикке (1901 г.) электрический ток в течение года пропускался через три последовательно соединенных металлических цилиндра (Cu, Al, Cu) с отшлифованными торцами одинакового радиуса. Общий заряд, прошедший через цилиндры, равнялся 3.5106 Кл. Проведенное после этого взвешивание показало, что вес цилиндров не изменился, также не было обнаружено проникновения одного металла в другой. Следовательно, перенос заряда осуществлялся не ионами, а общими для всех металлов частицами - электронами.
Рис.1.
Для подтверждения этого положения необходимо было определить знак и величину удельного заряда q/m, то есть заряда, приходящегося на единицу массы частицы, носителей тока. Эксперименты проводились российскими физиками Мандельштамом и Папалекси, а также американскими физиками Толменом и Стюартом (1913г., 1916-1917г.). Если движущийся поступательно проводник резко остановить, то, подключенный к нему гальванометр зафиксирует кратковременный ток (рис.1). Это объясняется тем, что носители тока не связаны жестко с кристаллической решеткой и при торможении продолжают двигаться по инерции.
По направлению тока гальванометра было определено, что знак заряда носителя тока - отрицательный. Мандельштам и Папалески взяли катушку с намотанным на нее проводом индуктивности L , концы которой соединили с неподвижной телефонной трубкой. При быстрых крутильных колебаниях катушки вокруг ее оси по цепи шел переменный электрический ток и раздавались сигналы в трубке.
Стюарт и Толмен заменили телефонную трубку гальванометром и определили, что носители тока имеют отрицательный заряд q < 0. Расчеты показали, что удельный заряд носителей равен удельному заряду электрона. Таким образом, было доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.
Свободные электроны - это валентные электроны атомов металла, наиболее слабо связанные с ядрами атомов. Они легко отрываются, переходят от одного атома к другому и являются как бы “обобществленными”. Атомы, оставшиеся без нескольких электронов, становятся положительными ионами, которые колеблются около положений равновесия, называемых узлами кристаллической решетки, и мешают свободному движению электронов. При своем движении электроны проводимости сталкиваются с узлами решетки металла, поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега электронов , которая по порядку величины должна равняться периоду кристаллической решетки металла, то есть порядка 10-10 м.
С позиций классической электронной теории высокая электропроводность металлов обусловлена наличием огромного числа свободных электронов, движение которых подчиняется законам идеального газа. Электроны образуют так называемый электронный газ. У одновалентного металла на один атом приходится 1 электрон. Поэтому число электронов проводимости в единице объеме одновалентного металла:
где – NA – число Авогадро, μ – молярная масса металла, ρ – плотность. Для меди: μ = 0, 0636кг/моль; ρ = 8,93∙103кг/моль. Тогда для меди: n0= 8,5∙1028 (1/м3 ).
Средняя кинетическая энергия теплового движения электрона будет равна:
, где me - масса электрона, vкв - его среднеквадратичная скорость, k = 1,38∙10-23 Дж/К - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. При температуре порядка комнатной Т=300 К среднеквадратичная скорость теплового движения электронов будет: ,
соответственно, средняя скорость теплого движения по величине получается порядка 110км/с.
Найдем среднюю скорость упорядоченного движения электронов. Рассмотрим медный проводник с площадью поперечного сечения S=1мм2 , для такого проводника максимально допустимая плотность тока равна jmax = 11∙106А/м2 .Тогда, по формуле плотности тока: j = e∙ n0 ∙v = 1,6 ∙10-19 ∙8,5∙1028 ∙v = 11∙106 , и, соответственно, скорость направленного движения:
v = .
То есть средняя скорость направленного движения v имеет порядок .
Вывод закона Ома в дифференциальной форме.
Предположим, что при соударении с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля в течении времени τ свободного пробега. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. По 2 закону Ньютона:
ma= eE; m = eE; mdv=eE dt. Возьмем определенный интеграл от левой и правой сторон последнего уравнения:
m , отсюда . Средняя скорость направленного движения в два раза меньше максимальной: .
Электроны проводимости одновременно участвуют также в тепловом движении. Если - средняя скорость направленного движения, а - средняя скорость теплового движения, то результирующая скорость: , и среднее время свободного пробега: .
Но , поэтому: .
Подставим полученную формулу в выражение для средней скорости направленного движения:
= и, соответственно, плотность тока:
j = e∙n∙ = e∙n∙ = =
Величина γ = получила название удельной проводимости, тогда выражение для плотности тока получаем выражение:
= γ .
Таким образом, в рамках классической теории электропроводности было получено выражение для закона Ома. Также выводится и закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Кроме того, классическая теория дала качественное объяснение закону Видемана-Франца. В середине 19 века Видеман и Франц установили, что при определенной температуре отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости одинаково для всех металлов. Закон Видемана-Франца имеет вид , где - постоянная, не зависящая от природы металла. Электроны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электрический заряд, но и кинетическую энергию беспорядочного теплового движения. Поэтому те металлы, которые хорошо проводят электрический ток, являются хорошими проводниками тепла. Классическая электронная теория качественно объяснила природу электрического сопротивления металлов. Можно считать, что движение электрона в металле происходит с трением, подобным внутреннему трению в газах. Это трение и создает сопротивление металла.
Вместе с тем классическая теория встретилась с существенными затруднениями. Перечислим некоторые из них :
1. Несоответствие теории и эксперимента возникло при расчете теплоемкости металлов. Согласно кинетической теории молярная теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости атомов и теплоемкости свободных электронов. Так как атомы в твердом теле совершают только колебательные движения, то их молярная теплоемкость равна С=3R, где R=8.31Дж/(мольК) - молярная газовая постоянная; свободные электроны двигаются только поступательно и их молярная теплоемкость равна С=(3/2)R. Общая теплоемкость должна быть С4.5R , но согласно опытным данным С=3R.
2. По расчетам электронной теории, сопротивление R должно быть пропорциональным , где Т - термодинамическая температура. Согласно опытным данным, RТ.
3. Полученные опытным путем значения электропроводности дают для средней длины свободного пробега электронов в металлах величину порядка сотен междоузельных расстояний. Это гораздо больше, чем по классической теории .
Расхождение теории с опытом объясняется тем, что движение электронов в металле подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики. Достоинством классической электронной теории являются простота, наглядность и правильность многих качественных ее результатов.