Электромагнетизм

Магнитное поле создается постоянными магнитами, а также проводниками с током. Все постоянные магниты обладают двумя полюсами: северным, или положительным, и южным, или отрицательным. Одноименные полюса отталкиваются, а разноименные – притягиваются.

Для изучения основных свойств магнитного поля и способов его создания рассмотрим два опыта.

Опыт 1: Взаимодействие между неподвижными электрическими зарядами и магнитной стрелкой. Результат: неподвижные электрические заряды не создают магнитное поле, магнитное поле не действует на неподвижные заряды.

Опыт 2: Взаимодействие между постоянным электрическим током и магнитной стрелкой.

Рис.1 Опыт 2 (Эрстед). Вращение магнитной стрелки в поле постоянного тока.

Расположим магнитную стрелку на ножке параллельно проводнику ниже него в вертикальной плоскости. Если по проводнику начать пропускать ток, стрелка будет поворачиваться в горизонтальной плоскости.

Результат: при прохождении по проводнику тока вокруг проводника создается магнитное поле, действующее на помещенную в это поле магнитную стрелку. Это было обнаружено в 1820 г. датским физиком Эрстедом. Следовательно, движущиеся заряды создают магнитное поле, магнитное поле действует на движущиеся заряды.

Силовой характеристикой магнитного поля является вектор индукции магнитного поля . Условимся считать, что вектор магнитной индукции в произвольной точке поля совпадает по направлению с силой, которая действует на северный полюс бесконечно малой магнитной стрелки. Будем считать, что такая стрелка не создает своего поля. Для графического изображения магнитных полей удобно пользоваться линиями магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называются линии, проведенные в магнитном поле так, что вектор в каждой точке линии направлен по касательной к ней.

Рис. 2. Силовые линии магнитного поля полосового магнита.

На рис.2 представлены линии индукции магнитного поля полосового магнита. Силовые линии исходят из северного полюса и входят в южный полюс. Если такой магнит разбить на мелкие кусочки, то у каждого обломка будет свой северный и свой южный полюсы.

Для определения направления линий магнитной индукции, охватывающих проводники с током, пользуются правилом буравчика или правого винта: если ввинчивать буравчик по направлению силы тока, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитной индукции (рис.3а).

Рис.3. Правило буравчика.

Линии индукции магнитного поля ни в каких точках пространства не могут прерываться, то есть ни начинаться, ни кончаться. Эти линии либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность (рис.3б). Для сравнения напомним, что силовые линии электростатического поля разомкнуты: они начинаются на положительных зарядах, оканчиваются на отрицательных зарядах и вблизи проводника перпендикулярны его поверхности.

Закон Ампера.

Действие магнитного поля на проводники с током было обнаружено Эрстедом и Ампером.

Представим себе следующий опыт: линейные проводники А и В расположены параллельно друг другу в горизонтальной плоскости (рис.4), проводник С может двигаться в направлениях, перпендикулярных им. Вся система помещена между северным N и южным S полюсами магнита.

Рис.4. Движение проводника с током С в магнитном поле.

Если по проводникам А, В и С пропускать электрический ток, направление которого можно менять с помощью коммутатора, то проводник будет двигаться вправо или влево в зависимости от направления тока. Следовательно, на проводник действует сила.

Ампер подробно исследовал это явление и пришел к выводу, что сила, действующая на элемент проводника, определяется по формуле:

d (1)

или, для всего проводника: (2)

Эта формулировка получила название закона Ампера.

По модулю: dF= I∙ dl ∙B ∙ sinα, где α – угол между направлением тока и направлением индукции магнитного поля. (3)

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (рис.5):

Линии индукции входят в ладонь левой руки, направление четырех пальце руки совпадает с направлением тока, тогда оттопыренный большой палец указывает направление силы.

Рис.5. Правило левой руки.

Закон Ампера позволяет определить числовое значение магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl по которому идет ток I, перпендикулярен индукции B. Тогда угол α между векторами и равен , и sin α=1. Отсюда:

B = , (4)

То есть магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны магнитного поля на единицу длины проводника, по которому течет ток единичной силы и который расположен перпендикулярно вектору индукции поля В. В системе «СИ» единицей измерения магнитной индукции является «Тесла», «Тл». .

Закон Био- Савара- Лапласа

В 1820 году французские ученые Жан Био и Феликс Савар исследовали магнитное поле, создаваемое в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и так далее. Они пришли к заключении., что:

а) во всех случаях индукция B ~ I;

б) индукция В зависит от формы и размеров проводника с током;

в) в произвольной точке поля индукция В зависит от взаимного расположения точки и проводника.

Французский математик Пьер Лаплас обобщил экспериментальные результаты в виде следующего закона: элемент тока на расстоянии радиус - вектора от него создает магнитное поле с индукцией , (рис.6), которая определяется по формуле:

(5)

где μ – безразмерная величина, характеризующая магнитные свойства среды и называемая магнитной проницаемостью среды, μ₀ – магнитная постоянная μ₀ = 4π∙10^-7 . Это есть закон Био-Савара-Лапласа.

Рис. 6. Закон Био-Савара-Лапласа.

Исходя из принципа суперпозиции полей, для проводника конечной длины l получаем:

(8)

Наряду с магнитной индукцией , вводится другая векторная силовая характеристика магнитного поля – напряженность . Для изотропной среды: (9)

Тогда: (10)

Единицей измерения напряженности магнитного поля в системе «СИ» является [ . Сравнение векторных характеристик электрического ( и ) и магнитного ( и ) полей показывает, что аналогом вектора напряженности является вектор магнитной индукции , так как и зависят от свойств среды.

Закон Био-Савара –Лапласа позволяет найти индукцию и напряженность магнитного поля электрического тока, текущего по проводнику конечных размеров и произвольной формы, с учетом принципа суперпозиции полей. Для бесконечно длинного проводника: H = , где а – кратчайшее расстояние от проводника до точки, где определяется напряженность,

для магнитного поля в центре кругового тока, где радиус витка R: Н = ,

для магнитного поля на оси кругового тока на высоте а от плоскости витка: .

Следствия из законов Ампера и Био-Савара-Лапласа

1. Сила взаимодействия двух бесконечно длинных прямолинейных проводников с током.

Рассмотрим два длинных проводника, по которым текут токи I₁ и I₂ , расстояние между которыми равно d (рис.7).

Рис. 7. Взаимодействие двух проводников.

Сила, действующая на второй проводник со стороны первого, по закону Ампера равна: F = I₂ ∙B∙ l∙sinα, где B – индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником в пространстве, где находится второй проводник.

По закону Био-Савара-Лапласа В= , и тогда F= inα .

По правилу буравчика, индукция поля первого тока в точках, где находится второй проводник, направлена перпендикулярно плоскости, где лежат проводники и, из соображений симметрии, одинакова во всех точках на расстоянии d. Отсюда, sinα=1. Тогда сила, приходящаяся на единицу длины проводника: . (11)

Очевидно, что сила, действующая на первый проводник со стороны второго, будет равна по величине и противоположна по направлению найденной. Из рисунка видно, что если токи в проводниках идут в одном направлении, то проводники притягиваются. Если токи идут в противоположных направлениях, то проводники будут отталкиваться.

2. Последняя формула позволяет дать определение единице измерения силы тока в системе «СИ»: 1А – это сила такого постоянного тока, при прохождении которого по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины, находящимся в вакууме на расстоянии 1м друг от друга, сила электромагнитного взаимодействия между проводниками равна 2∙10^-7 Н на каждый метр длины.

3. Определение магнитной постоянной μ₀ .

С помощью предыдущего определения величины «А» и формулы для силы взаимодействия проводников, получаем для μ₀:

μ₀ = .

Магнитный момент витков с током

Магнитный момент витка с током - векторная величина, направленная вдоль оси витка с током в ту же сторону, что и индукция его магнитного поля. Тогда: , где I – сила тока, а S – площадь поверхности, ограниченной витком ( рис.8):

Рис. 8. Магнитный момент витка с током.

Магнитное поле кольцевого тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого условного «магнитного диполя», причем «северным» или «положительным» полюсом называют ту сторону витка, из которой линии магнитной индукции выходят.

Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Сила Лоренца.

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле. По закону Ампера: .

Но из определения силы тока следует: , где dV –объем проводника длиной dl, dn - число частиц в объеме проводника длиной dl, – скорость их упорядоченного движения. Тогда:

] , а сила, действующая на одну частицу .

Это выражение впервые получил Лоренц, поэтому формула силы, действующей на одну частицу, называется силой Лоренца:

. (12)

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости заряженной частицы, сообщая ей нормальное ускорение. Следовательно, сила Лоренца не совершает работы. Она меняет только направление скорости движения частицы в магнитном поле.

Основные уравнения магнитостатики в вакууме.

Закон полного тока:

Циркуляция вдоль замкнутого контура вектора индукции магнитного поля в вакууме равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

= (13)

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз его обхватывает контур. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (буравчика).

Для циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

= (14)

Магнитное поле, в отличие от электростатического, не является потенциальным, поэтому циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура не равна нулю и зависит от выбора контура.

Магнитный поток. Теорема Остроградского – Гаусса для магнитного поля.

Потоком вектора индукции магнитного поля сквозь малую площадку dS называется физическая величина, равная скалярному произведению вектора на вектор , или, произведению площади этой площадки и проекции вектора на направление нормали к этой площадке dS.

dФ = = B∙dS∙cosα =B_n dS (15)

Интегрируя, получим поток сквозь всю поверхность S:

Ф= . (16)

За единицу магнитного потока в системе «СИ» 1Вб принимают магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади 1м² , расположенной перпендикулярно вектору индукции однородного магнитного поля величины 1Тл.

В электродинамике доказывается следующая теорема, названная теоремой Остроградского – Гаусса для магнитного поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

=0 (17)

Поток магнитной ндукции сквозь замкнутую поверхность равен «0» - так как в природе не существуют «магнитные» заряды, на которых могли бы начинаться и заканчиваться линии магнитной индукции.

Расчет магнитного поля тороида

Закон полного тока и теорема Остроградского – Гаусса имеют большое значение для расчета магнитных цепей.

Рис. 9. Расчет поля тороида.

На рис.9 показан так называемый тороид.

Рассмотрим три частных случая.

1. рассмотрим область пространства, где r < R₁ . В этой области токов нет.

Тогда H∙2πr =0, и, соответственно, Н=0.

2. если r > R₂ , то окружность l охватывает 2N проводников с током, но в N из них ток идет в одном направлении, а в других N - в противоположном.

Тогда: =0 и Н=0.

3) если R₁ < r < R₂ , то окружность охватывает N проводников, токи в которых одинаково направлены. Тогда: H∙2πr = N∙ I, или Н=

H_max = , H_min = , где d – диаметр витков.

Тогда: Hср = = n I, (18)

где n – число витков на единицу длины средней линии тороида.

Если увеличивать внутренний диаметр тороида, сохраняя неизменными d и n, то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. В пределе вместо тороида получим бесконечно длинный соленоид. Поле внутри такого соленоида однородно, так как векторы Н направлены параллельно оси соленоида и численно равны друг другу.

Магнитная индукция внутри тороида:

В = μμ₀Н = μ∙μ₀ ∙n∙ I. (19)

Действие магнитного поля на проводники с током.