Плоский замкнутый контур тока в магнитном поле.

Большой интерес представляет действие магнитного поля на замкнутые проводники с током, так как на этом явлении основано действие электроизмерительных приборов, электрических двигателей.

Рассмотрим рамку 1-2-3-4-1, помещенную в постоянное магнитное поле с индукцией В. Рамка всегда старается установиться так, чтобы ее магнитный момент совпадал по направлению с вектором В. Пусть стороны 1-2 и 3-4 равны b, а стороны 2-3 и 4-1 равны а (рис. 10).

Рис.10. Рамка с током в магнитном поле. Вид спереди.

Найдем величину момента сил, действующих на рамку (рис.11). На горизонтальные стороны рамки 1-2 и 3-4 со стороны поля действуют силы Ампера, направленные, соответственно, вверх и вниз. Они равны и уравновешивают друг друга. Эти силы направлены вдоль оси вращения ОО, могут только или растягивать рамку или сжимать, и не могут вращать рамку.

Рис. 11. Рамка с током в магнитном поле. Вид сверху.

Чтобы найти силы Ампера, действующие на стороны рамки на стороны 2-3 и 4-1, удобно рассматривать систему сверху на рис. 11. По модулю силы равны F₂₃ =F₄₁= I∙B∙a∙sin , а по направлению – противоположны: .

Тогда вращающий момент, действующий на рамку: М = F₄₁ cos( F₂₃ cos( = F₄₁ ∙sin = I∙B∙a∙ ∙sin = I∙ S∙B∙ sinα= p_m∙B∙ sinα.

Или: M = p_m ∙B∙ sinα, а в векторной форме: (20)

Исходя из закона Ампера, можно показать, что предыдущая формула справедлива для контура любой формы. Рамка не будет вращаться , когда , то есть когда плоскость рамки перпендикулярна индукции магнитного поля , а нормаль к плоскости – параллельна вектору .

Чтобы повернуть контур на угол α, надо совершить работу:

dA=

Тогда, энергия рамки в магнитном поле: W= A= .

W = - . (21)

Полный магнитный поток сквозь поверхность S контура, создаваемый внешним магнитным полем индукции В и собственным магнитным полем В₁ тока в контуре максимален, когда векторы и параллельны, и минимален, когда антипараллельны:

Ф_max = BS + , Ф_min = = BS -

Устойчивым равновесием является равновесие, когда поток максимален Ф_max (энергия минимальна).

Электромагнитная индукция

Ампер, исследуя действие проводников с током друг на друга и на постоянные магниты, пришел к выводу об электродинамической природе магнетизма. В связи с этим он впервые предложил разбить все учение об электрических и магнитных явлениях на две части: электростатику и электродинамику.

В 1824 голу французский физик Араго обнаружил, что колебания свободно подвешенной магнитной стрелки затухают быстрее, если над этой стрелкой или под ней находится медная пластинка. В 1925году он обнаружил еще более интересное явление: при быстром вращении медной пластинки расположенная под ней магнитная стрелка начинает вращаться в том же направлении. Правильное объяснение опытам Араго было дано спустя несколько лет выдающимся английским физиком Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции.

Принципиальная схема установки Фарадея представлена на рис.12. В первом случае (1) рассматривалась система из двух длинных медных проводов, намотанных на деревянный стержень.

Рис.12

Первая катушка была подключена к батарее Б через ключ К. В цепь второй катушки подсоединили гальванометр, фиксирующий ток. Несмотря на то, что во второй цепи не было источника тока, гальванометр показывал его наличие в моменты замыкания и размыкания ключа в первой цепи.

Во втором опыте (2) гальванометр показывал наличие тока во второй цепи при движении первой цепи относительно второй.

В третьем случае (3) гальванометр показывал наличие тока во второй цепи при движении полосового магнита относительно нее.

Ясно, что причиной возникновения индукционного тока является изменение магнитного поля, пронизывающего вторую катушку.

Чтобы выяснить, что же влияет на возникновение тока, магнитная индукция В или напряженность магнитного поля Н , Фарадей поставил опыты с тороидом, у которого сердечник был то деревянным, то железным (рис.13).

Рис. 13

Во втором случае индукционный ток оказался больше.

Открытое Фарадеем явление получило название электромагнитной индукции.

Ток проводимости в замкнутой цепи может возникнуть только под действием стороннего электрического поля. Следовательно, в замкнутом контуре, находящемся в переменном магнитном поле, появляется так называемое индуктированное электрическое поле. Энергетической мерой этого поля служит электродвижущая сила электромагнитной индукции ε_i.

Закон Фарадея

ЭДС электромагнитной индукции ε_i в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

ε_i = к . (22)

Ленц исследовал связь между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока.

В 1834 году он установил следующий закон (закон Ленца): при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвавшего его к жизни.

Формула, объединяющая законы Фарадея и Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции:

ε_i = - . (23)

Здесь Ф – полный магнитный поток, пронизывающий контур. Поэтому, в электротехнике основной закон принято записывать так:

ε_i = - , где ᴪ - потокосцепление контура.

Легко показать, что ЭДС индукции возникает не только в замкнутом проводнике, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля.

Рис. 13.

Только если в первом случае - это скорость изменения магнитного потока сквозь повеерхность, натянутую на контур, то во втором – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка dt, так что называют скоростью пересечения проводником линий индукции магнитного поля.

Теперь вернемся к рассмотрению случая, когда проводник является неподвижным, а поле является переменным B = B(t). В этом случае переменное магнитное вызывает появление электрического поля, под действием которого возникает индукционный ток в замкнутом проводнике. Найдем связь между напряженностью этого электрического поля Е и изменением потока магнитной индукции сквозь поверхность, натянутую на контур. По определению ЭДС:

, но

= - , где - результирующая напряженность внутри проводника. Отсюда:

Второй интеграл равен нулю, так как циркуляция напряженности поля кулоновских сил по замкнутому контуру равна 0. Или:

= - .

Электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем, является вихревым, циркуляция вектора его напряженности по замкнутому контуру не равна 0.

Явление самоиндукции. Токи при замыкании и размыкании цепи.

Вокруг всякого проводника с током существует магнитное поле. Собственное магнитное поле контура создает магнитный поток самоиндукции Ф_с сквозь поверхность S, натянутую на этот контур.

Ф_с =

По закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция в точке, находящейся на расстоянии радиуса вектора от элемента тока проводника:

.Отсюда, для индукции поля, созданного всем проводником: =

Нормальная составляющая вектора индукции, или, по-другому, проекция вектора В на перпендикуляр к поверхности, натянутой на контур:

В_n = . Тогда, поток будет определяться так: Ф_с = }dS

Сила тока I не зависит от S, а . Тогда для потока можно записать:

Ф= LI,

где L = } dS - индуктивность контура.

Из формулы видно, что индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и относительной магнитной проницаемости среды, где он находится.

Индуктивность измеряется в «Генри».

Для контура из нескольких витков N: L = , где Ф=ВS.

Внутри соленоида: В= , тогда

L= = .

При прохождению по контуру непостоянного тока магнитный поток самоиндукции изменяется и в контуре наводится ЭДС индукции.

Возникновение ЭДС индукции в результате изменения тока в цепи получило название явления самоиндукции, а сама ЭДС получила название ЭДС самоиндукции.

Если L=const, то:

ε_S = - .

Под действием ЭДС самоиндукции появляется индукционный ток, который по закону Ленца противодействует изменению тока, вызвавшего его к жизни.

Токи при замыкании и размыкании цепи.

Как пример, найдем закон изменения тока в цепи при ее замыкании и размыкании. По закону Кирхгофа для замкнутой цепи, в которой имеется активное сопротивление R, индуктивность L и источник тока ε (рис. 14), получаем:

ε + ε_S =R∙I, I = .

Рис. 14.

ε - L → ε = L → ε - IR = L → - = ε – I R.

Разделим переменные (ε – I R) и t → - = dt.

Возьмем неопределенный интеграл от левой и правой частей последнего уравнения:

=

ln(ε – I R) = - +lnC, где С – const.

ln = - → = → ε – I R = C →

I R = ε - C → I = (ε - C ).

Если в момент времени t=0 сила тока I = I₀, тогда:

I₀ = (ε - C ) → I₀ R= ε - C → C= ε - I₀ R → I = ε - I₀ R) ] = .

Рассмотрим случай замыкания ключа: при t=0 ток равен нулю I₀ =0, тогда:

I = (ε - ε ∙ ) = . График этой функции представлен на рис 15.

Рис. 15

При замыкании цепи ток не сразу достигает максимального значения, например, лампочка не сразу начинает гореть с максимальной яркостью.