§ 5.4. Методы Рунге-Кутты.

Вывод методов из формулы Тейлора.

В начале 20-го века немецкие математики Рунге, затем Хойн и Кутта предложили класс методов, которые получили название методов Рунге-Кутты. Можно считать, что в методах

Рунге-Кутты интегральная кривая заменяется ломаной и вычисления проводятся по формуле: , где - угловой коэффициент секущей, проведенной из точки в точку .

Угловой коэффициент вычисляется как линейная комбинация угловых коэффициентов в m

вспомогательных точках, выбранных на отрезке .

Вычисления проводятся по формулам:

,

…..

Коэффициенты , , подбираются таким образом, чтобы локальная погрешность метода Рунге-Кутта имела заданный порядок точности по h.

Построим методы Рунге-Кутты 2-го порядка точности.

, .

Здесь неизвестными являются величины , , .

Расчетная формула в этом случае примет вид:

Разложим последнее слагаемое в ряд Тейлора в точке :

Тогда

Составим разложение точного решения:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях h, получим следующие соотношения:

Заметим, что получили систему уравнений, в которой неизвестных больше чем условий.

Сделаем дополнительные предположения: пусть . Тогда:

Второе уравнение примет вид:

, откуда , .

Таким образом, получили параметрическое семейство методов Р-К 2-го порядка точности:

,

При имеем так называемый усовершенствованный метод Эйлера:

Геометрическая интерпретация.

При имеем так называемый метод Эйлера-Коши:

Можно построить методы любого порядка точности по h.