§ 5.4. Методы Рунге-Кутты.
Вывод методов из формулы Тейлора.
В
начале 20-го века немецкие математики
Рунге, затем Хойн и Кутта предложили
класс методов, которые получили название
методов Рунге-Кутты. Можно считать, что
в методах
Рунге-Кутты
интегральная кривая заменяется ломаной
и вычисления проводятся по формуле:
,
где
- угловой коэффициент секущей, проведенной
из точки
в точку
.
Угловой
коэффициент вычисляется как линейная
комбинация угловых коэффициентов в m
вспомогательных
точках, выбранных на отрезке
.
Вычисления
проводятся по формулам:
,
…..
Коэффициенты
,
,
подбираются таким образом, чтобы
локальная погрешность метода Рунге-Кутта
имела заданный порядок точности по h.
Построим
методы Рунге-Кутты 2-го порядка точности.
,
.
Здесь
неизвестными являются величины
,
,
.
Расчетная
формула в этом случае примет вид:
Разложим
последнее слагаемое в ряд Тейлора в
точке
:
Тогда
Составим
разложение точного решения:
Сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
h, получим следующие
соотношения:
Заметим,
что получили систему уравнений, в которой
неизвестных больше чем условий.
Сделаем
дополнительные предположения: пусть
.
Тогда:
Второе
уравнение примет вид:
,
откуда
,
.
Таким
образом, получили параметрическое
семейство методов Р-К 2-го порядка
точности:
,
При
имеем так называемый усовершенствованный
метод Эйлера:
Геометрическая
интерпретация.
При
имеем так называемый метод Эйлера-Коши:
Можно построить
методы любого порядка точности по h.