ЛЕКЦИЯ 10. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §§11.3, 11.4, 11.7
[2] §§1,2
В лекции 9 были приведены две постановки задачи о приближении таблично заданной функции: приближение в «среднем» и приближение методом интерполяции.
Постановка задачи о приближении в среднем. Пусть даны точки , , … и известны значения исходной функции в этих точках , . Требуется найти такую аппроксимирующую функцию , чтобы величина среднеквадратичного отклонения (СКО)
(10.1)
была минимальной.
В предыдущей лекции эта задача была решена в случае, когда функция
представляла собой многочлен степени m. Рассмотрим решение задачи в общем случае.
§10.1 Приближение функции по мнк обобщенным многочленом
Пусть функция представляет собой обобщенный многочлен:
(10.2)
Запишем его в более компактном виде:
Задача состоит в том, чтобы найти такие коэффициенты , , … , чтобы величина
СКО (10.1) была минимальной.
Будем решать задачу аналогично решению задачи приближения многочленами. Заметим, что при фиксированной степени среднеквадратичное отклонение является функцией коэффициента многочлена . Минимум среднеквадратичного отклонения достигается при тех же значениях , что и минимум функции:
Запишем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных:
, k=0,1,…m
Дифференцируя функцию по коэффициенту , получим следующее выражение:
Меняя порядки суммирования, получим систему алгебраических уравнений относительно
неизвестных , к=0,1,…m. В общем виде система выглядит так:
, k=0,…m (10.3)
Можно записать ее в более развернутом виде:
ПРИМЕР 10.1. Пусть функция задана таблицей:
x |
-1 |
0 |
1 |
f(x) |
0.5 |
1.5 |
2 |
Известно, что функция имеет вид: . Найти коэффициенты a и b.
Решение. Функция f(x) задана обобщенным многочленом
, . Составим нормальную систему метода наименьших квадратов.
Найдем правую часть:
,
Получаем систему уравнений
, . Таким образом, . При этом СКО=0
§10.2. Многочлен лагранжа.
Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … , предполагаем дополнительно, что при . Задача интерполяции состоит в построении функции такой, что , .
Будем приближать функцию интерполяционным многочленом степени n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен степени n, удовлетворяющий условию , называется интерполяционным многочленом.
Заметим, что многочлен содержит n+1 неизвестный коэффициент . Можно написать такую систему равенств, состоящих из n+1 уравнения:
(10. 4)
ТЕОРЕМА 10.1. Интерполяционный многочлен существует и единственен.
Доказательство. Система (10.4) имеет единственное решение. Действительно, рассмотрим определитель системы :
Это есть определитель Вандермонда. Если среди узлов интерполяции нет одинаковых, то
он не равен нулю. Выше было сделано предположение, что при .
По теореме Крамера: если матрица квадратной системы линейных уравнений невырождена, то решение системы существует и единственно. Ч.т.д.
ПРИМЕР 10.2. Приблизим функцию из примера 10.1 интерполяционным многочленом. Так как функция задана значениями в 3-х точках решим задачу интерполяции, приближая функцию многочленом второй степени.
Подставим узлы интерполяции и значения функции из таблицы для нахождения коэффициентов многочлена:
Тогда :
На практике в редких случаях для нахождения коэффициентов многочлена решают
систему (10.4). Обычно используют другие формы записи многочленов.
Рассмотрим многочлен следующего вида:
(10.5)
Эта форма записи интерполяционного многочлена называется многочленом Лагранжа.
Запишем два частных случая этого многочлена довольно часто встречающихся в практике
Линейная интерполяция. Пусть функция задана значениями в двух точках:
x |
|
|
f(x) |
|
|
Тогда многочлен Лагранжа примет вид:
Квадратичная интерполяция. Пусть функция задана значениями в трех точках:
x |
|
|
|
f(x) |
|
|
|
Тогда многочлен Лагранжа примет вид:
Таким образом, (10.5) - многочлен представляет собой сумму n+1 слагаемого, каждое из которых есть многочлен степени n. Подставим в узел . Заметим, что к-ое слагаемое при обращается в ноль, а при числитель и знаменатель дроби совпадают и мы получаем значение . Таким образом, (10.5) представляет собой интерполяционный многочлен.
ПРИМЕР 10.3. Рассмотрим задачу вычисления функции для значений и . Эту задачу будем решать методом интерполяции. Приблизим исходную функцию на отрезке [9,16] многочленом Лагранжа 1-ой степени. Для этого возьмем два узла интерполяции и . Тогда и .
|
|
|
|
|
|
Составим многочлен по формуле (10.5):
Теперь вычислим значения в указанных точках:
, для сравнения значение ,
Аналогично для 2-го числа
, для сравнения значение