ЛЕКЦИЯ 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §§11.5, 11.8 - 11.10

[2] §§1,2

§11.1 Краткие сведения из предыдущей лекции.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ,

Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … , предполагаем дополнительно, что при . Задача интерполяции состоит в построении функции такой, что , .

Будем приближать функцию интерполяционным многочленом степени n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен степени n, удовлетворяющий условию , называется интерполяционным многочленом.

ТЕОРЕМА 10.1. Интерполяционный многочлен существует и единственен.

Многочлен Лагранжа имеет следующего вид:

(11.1)

ПОГРЕШНОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина называется остаточным членом интерполяции.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА10.2. Пусть функция дифференцируема (n+1) раз на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции . Тогда для погрешности интерполяции в точке справедлива оценка:

(11.2)

Где ,

МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА С КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ.

Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … значений аргумента с постоянным шагом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечной разностью 1-го порядка называется величина

(11.3)

С помощью конечных разностей можно записать интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями при интерполировании вперед.

(11.4)

§11.2 Многочлен ньютона с разделенными разностями .

Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным ) шагом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Величины

; = (11.5)

называются разделенными разностями первого порядка. Разделенные разности второго порядка определяются формулой:

; ; = (11.6)

Аналогично определяются разделенные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделенной разности порядка таково:

(11.7)

Аналогично таблице конечных разностей строят таблицу разделенных разностей

Разделенные разности обладают следующими свойствами:

1.Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть ее значение не меняется при любой перестановке своих аргументов , , ,… .

2.Пусть функция имеет на отрезке, содержащем точки , , ,… , производную порядка k.Тогда справедливо равенство:

.

3. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг h,разделенная и конечная разности связаны равенством:

Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями имеет вид:

+…

+ (11.8)

ПРИМЕР.11.1 Таблично заданную функцию запишем в виде вертикальной таблицы:

Теперь запишем многочлен:

Найдем значения : ,

В практическом плане формула обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена, добавив в таблицу еще один узел . При использовании формулы Лагранжа это приведет не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона достаточно добавить к лишь одно очередное слагаемое, так как

, где

С учетом этого формулу для погрешности интерполяции в точке x, не являющейся узловой, можно записать следующим образом:

Когда величина мала, а функция достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство:

, из которого следует, что

. Таким образом, величину можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

Рассмотрим решение следующей задачи (РЗ 16 )

ПРИМЕР 11.2. Пусть функция задана таблицей. Вычислить значение в точке

и оценить погрешность интерполяции.

x	0.5	0.7	1.2	2
f(x)	0.87	1.23	1.41	0.5

При использовании многочлена с разделенными разностями можно выбирать произвольный порядок узлов интерполяции. Поэтому примем такую схему решения.

Для приближения функции многочленом первой степени возьмем два ближайших к точке

, перенумеровав их так: , . Для построения многочлена 2-ой степени

добавим следующий узел . И последняя точка будет иметь номер

Перепишем таблицу с учетом новой нумерации точек. Составим таблицу разделенных разностей, обозначая их более компактным образом:

			=0.257
		=-0.9
			=0.226
		= --0.606(6)

Оценка погрешности.

ОТВЕТ:

ЗАМЕЧАНИЕ. Для построения таблицы была использована функция .