Uchebnoe_posobie_Optika

нохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку Р1. Сторона пластинки, удаленная от S, посеребрённая и полупрозрачная, разделяет луч на две части:

луч 1 (отражается от посеребренного слоя) и луч 2 (проходит через него). Луч 1 отражается от зеркала М1 и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку Р1 (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу М2, отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки Р1 (луч 2'). Так как первый из лучей проходит сквозь пластинку Р1 дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка Р2 (точно такая же, как и Р1 только не покрытая слоем се-

ребра).

Лучи 1' и 2' когерентны, следовательно, будет наблюдаться интерференция, результат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала М1 и луча 2 от точки О до зеркала М2. При перемещении одного из

зеркал на расстояние		разность хода обоих лучей увеличится на		и про-
			2
4

изойдёт смена освещённости зрительного поля. Следовательно, по незначительному смещению интерференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10 7 м) измерения длин [измерения длины тел, длины волны света, изменения длины тела при изменении температуры (интерференционный дилатометр)].

Российский физик В.П.Линник использовал принцип работы интерферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра (комбинация интерферометра и микроскопа), служащего, например, для контроля чистоты обработки поверхности.

Из многочисленных видов интерферометров, рассмотрим также интерферометр Жамена.

Интерферометр Жамена используется для измерения показателя преломления веществ, концентрации веществ в растворах, контроля чистоты воздуха и т.д.

Свет, от источника 1, пройдя через систему линз 2 и фильтр 3 (для создания параллельного монохроматического луча), разделяется с помощью расположенной под углом 45° стеклянной пластинки 4 на два луча л1 и л2. Пройдя через кюве-

ты 5 и 6, отразившись от передней и задней поверхностей пластинки 7, слегка повернутой относительно пластинки 4 для создания оптической разности

41

хода волн, лучи л1' и л2' попадают в зрительную трубу 8, где возникает интерференционная картина 9. Если одна из кювет наполнена исследуемым раствором, а вторая чистым растворителем, то за счет разности скоростей света в кюветах возникает сдвиг фазы между лучами л1' и л2'. По возникшему, вследствие этого, смещению интерференционных полос можно найти различие в показателях преломления веществ в кюветах Δn, а, следовательно, концентрацию исследуемого раствора. Полученная вследствие разности показателей преломления оптическая разность хода лучей л1' и л2' равна l n = m , где т – число полос, на которые сместилась интерференционная картина, l – длина кювет, – используемая длина волны света.

Точность измерения показателя преломления в интерферометре Жамена очень высока и достигает 7-8 знака после запятой.

Интерферометры – очень чувствительные оптические приборы, позволяющие определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т. д. Такие интерферометры получили название интер-

ференционных рефрактометров.

На пути интерферирующих лучей располагаются две одинаковые кюветы длиной l, одна из которых заполнена, например, газом с известным (n0), a другая – с неизвестным (пx) показателями преломления. Возникшая между интерферирующими лучами дополнительная оптическая разность хода=(nx n0 )l . Изменение разности хода приведет к сдвигу интерференцион-

ных полос. Этот сдвиг можно характеризовать величиной m0				(nx n0 )l	,

где m0 показывает, на какую часть ширины интерференционной полосы сместилась интерференционная картина. Измеряя величину т0 при известных l, n0 и , можно вычислить nх или изменение пх – n0 . Например, при смещении интерференционной картины на 1/5 полосы при l=10 см и = 0,5 мкм , пх – n0 = 10-6, т.е. интерференционные рефрактометры позволяют измерять изменение показателя преломления с очень высокой точностью (до 1/1000 000).

Применение интерферометров очень многообразно. Кроме перечисленного, они используются для изучения качества изготовления оптических деталей, измерения углов, исследования быстропротекающих процессов, происходящих в воздухе, обтекающем летательные аппараты, и т. д. Применяя интерферометр, Майкельсон впервые провел сравнение международного эталона метра с длиной стандартной световой волны. С помощью интерферометров исследовалось также распространение света в движущихся телах, что привело к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и времени.

3. Дифракция света

Дифракцией называется явление огибания волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле – любое отклонение

42

распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.

Явление дифракции, общее для всех волновых процессов, имеет особенности для света, а именно здесь, как правило, длина волны много меньше размеров d преград (или отверстий). Поэтому наблюдать дифракцию

можно только на достаточно больших расстояниях l от преграды (l d2 ).

Дифракция света – это совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света сквозь малые отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т.д., обусловленных волновой природой света. Под дифракцией света обычно понимают отклонение от законов распространения света, описываемых геометрической оптикой.

5.1. Принцип Гюйгенса – Френеля

Объяснение дифракции возможно с помощью принципа Гюйгенса, со-

гласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране. Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е.

волна огибает края отверстия.

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая

волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения. Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, в теории Гюйгенса ответа на этот вопрос нет.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

43

Согласно принципу Гюйгенса—Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат су-

перпозиции когерентных вторичных волн, “излучаемых” фиктивными ис-

точниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн.

Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.

Таким образом, согласно принципу Гюйгенса – Френеля, результи-

рующее колебание в некоторой точке пространства является суперпозицией элементарных вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности. Возникающая при этом дифракционная картина представляет собой чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности света.

Из вышесказанного следует, что между дифракцией и интерференцией нет принципиальных различий. Оба эти явления заключаются в пространственном перераспределении интенсивности светового излучения вследствие сложения волн. Только интерференцией принято называть перераспределение интенсивности, вызванное сложением волн, испускаемых конечным числом отдельно расположенных когерентных источников, а дифракцией – перераспределение интенсивности; вызванное сложением волн, испускаемых непрерывно расположенными когерентными источниками. Например, явление сложения когерентных пучков от двух отверстий (опыт Юнга) называется интерференцией, а явление сложения когерентных волн, прошедших через одно отверстие – дифракцией (дифракцию света на щели).

Различают дифракцию плоских световых волн – дифракцию Фраунгофера, и сферических световых волн – дифракцию Френеля.

Рассмотрим один из простейших случаев – дифракцию Фраунгофера на щели. Пусть на узкую длинную щель шириной а нормально падает плоская монохроматическая волна длиной . Плоскую световую волну можно получить, если взять настолько узкую щель, чтобы можно было пренебречь кривизной фронта волны, или, если расположить точечный источник света на большом расстоянии от щели, так чтобы лучи, идущие от него и попадающие в щель, могли считаться параллельными. Последний способ может быть реа-

44

лизован, если поместить точечный источник света в фокус линзы, расположенной перед щелью.

Для наблюдения дифракции Фраунгофера на щели между щелью и экраном помещают собирающую линзу, а экран располагают в фокальной плоскости линзы. В отсутствии дифракции все лучи сфокусировались бы в точке О, но, согласно принципу Гюйгенса, лучи, прошедшие через отверстие, являются вторичными источниками света и будут распространяться по всем направлениям.

В результате в каждой точке экрана линза будет фокусировать лучи, идущие под одним углом к направлению падающего пучка. Все лучи,

распространяющиеся по нормали к экрану, соберутся в точке О. Линза не создает дополнительной оптической разности хода волн, поэтому в точке О амплитуды всех волн сложатся и освещенность экрана будет максимальной.

Результат дифракции на экране в произвольной точке Р будет зависеть от оптической разности r (отрезок ВС) хода лучей, идущих в эту точку от краев щели. Из рисунка находим: r = a sin r, где – угол дифракции.

Разобьём отрезок ВС на участки длиной . При этом фронт первичной

2

волны также разбивается на участки, или зоны, (отрезки AAl, AlA2, A2A3, A3B) так, что расстояния от границ соседних зон до точки наблюдения Р отличаются на полдлины волны. Эти зоны называются зонами Френеля. Подобное разбиение фронта первичной волны, впервые введенное Френелем, значительно облегчает расчеты интерференции вторичных волн.

Для любой волны, исходящей из одной зоны Френеля, всегда найдется соответствующая волна, исходящая из соседней зоны, такая, что оптическая

разность хода волн между ними будет равна . Две такие волны взаимно по-

2

гашают друг друга. Соответственно все волны двух соседних зон Френеля взаимно уничтожаются. В результате, если оптическая разность хода волн

(отрезок ВС) равна: r = 2k , где порядок дифракции k = 1, 2, 3, ... (то есть

2

на щели укладывается четное число зон Френеля), то в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности.

Условие минимума дифракции: a sin = 2k , k 0. Соответственно

2

если на щели укладывается нечетное число зон Френеля, то наблюдается

максимум дифракции: a sin = (2k 1) .

2

45

Строгие расчеты показывают, что амплитуда результирующего колебания в направлении, составляющем угол с нормалью к плоскости щели, имеет вид:

				a
	sin					sin
A( ) A0								, где А0 – амплитуда падающей на щель плоской волны
		a
					sin

(амплитуда в центре дифракционной картины). Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому

				2	a
		sin				sin
	I I0
		a			sin		2 , где I0 – интенсивность, в середине дифракционной

картины; I( ) – интенсивность в точке, соответствующей углу . В направлении, соответствующем углу дифракции = 0, также будет наблюдаться максимум интенсивности, потому что вторичные волны придут в точку О в одинаковой фазе. Таким образом, на экране получится серия темных и светлых полос, симметричных относительно центрального максимума. Его интенсивность с максимальным значением функции I( ) при = 0 значительно превосходит интенсивности остальных максимумов, которые убывают в на-

правлении от центра картины как 1: 0,045: 0,016:.... График функции I( ) при-

веден на рисунке. Если щель освещать белым светом, то получится серия цветных полос, и только центральный максимум будетбелым.

При малых размерах щели (а )

получаем: sin	=	k	1, однако
	2

|sin | 1. Поэтому вместо системы максимумов и минимумов интенсивность света монотонно убывает от середины дифракционной картины к краям.

5.2. Дифракционная решётка

Рассмотрим теперь дифракцию на большом числе одинаковых и отстоящих друг от друга на равных расстояниях щелей. Такое устройство называется дифракционной решеткой, которую можно получить нанесением непрозрачных штрихов на прозрачную пластинку.

Ширина щелей а и расстояние между ними b в сумме определяют пе-

риод или постоянную дифракционной решетки c: c = a + b.

При нормальном падении на решетку плоской монохроматической волны происходит интерференция вторичных волн, идущих по всевозмож-

46

ным направлениям из разных щелей, формируя после фокусировки дифракционную картину на экране.

В произвольной точке Р экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы, сфокусируются все лучи, которые до линзы распространялись под определенным углом к нормали. Результирующее колебание в точке Р определяется интерференцией вторичных волн от всех щелей и зависит от разности хода волн: r = с sin .

При равенстве оптической разности хода волн четному числу полуволн наблюдается максимум интен-

сивности: с sin = 2k 2k

2

При этом на экране возникают главные максимумы дифракционной картины, здесь k =1, 2, 3,... – порядок главных максимумов интенсивности (порядок спектра). Они расположены симметрично относительно центрального максимума, k=0 и =0. Формула позволяет с высокой точностью измерять длину волны монохроматического излучения при известном периоде решетки. В тех точках, где интенсивность, созданная каждой из щелей в отдельности, равна нулю, наблюдается минимум интенсивности:

с sin = 2k , k 0.

2

Каждая щель дифракционной решетки создает свою собственную дифракционную картину со своими максимумами и минимумами. Поэтому между каждыми двумя главными максимумами располагаются добавочные максимумы и минимумы, число которых определяется количеством N щелей в решетке. Образуется (N – 1)

добавочных дифракционных минимумов и (N – 2) добавочных максимумов, интенсивность которых составляет не более 5 % от интенсивности главного максимума.

При падении на дифракционную решетку излучения сложного спектрального состава для каждой

длины волны получается свой набор спектральных полос. Следовательно, падающее немонохроматическое излучение будет разложено в спектры по числу возможных значений k. Таким образом, дифракционная решётка, так же как призма и щель, является спектральным прибором, основное свойство которого – способность разлагать падающий на него свет по длинам волн.

47

Поэтому дифракционная решетка используется в качестве диспергирующего элемента в спектральных приборах.

Основными характеристиками дифракционной решетки являются те, которые позволяют оценить ее способность разрешать (различать) спектральные линии – угловая дисперсия и разрешающая способность.

Угловая дисперсия D характеризует угловую ширину спектра, то есть определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отли-

чающимися по длине волны на d : D = d . d

Продифференцировав уравнение с sin =					2k			2k , получаем:
					2
ccos d kd , откуда D =	d		k	. Для небольших углов дифракции
	d		ccos

таких, что cos 1, D k . Таким образом, угловая дисперсия обратно про- c

порциональна периоду решетки с и возрастает с увеличением порядка спектра k.

Разрешающая способность R дифракционной решетки, то есть способность давать раздельное изображение двух близких спектральных линий,

определяется как R , где – минимальная разность длины волн двух

спектральных линий, при которой они еще видны раздельно.

Разрешающая способность зависит как от расстояния между линиями, так и от ширины линий. Глаз воспринимает две линии раздельно, если интенсивность минимума между ними составляет не более 80 % от интенсивности максимума.

Можно показать, что для дифракционной решетки R =kN. Это условие реализуется при выполнении критерия Релея: две близкие спектральные линию полностью разрешены, если максимум интенсивности одной линии с длиной волны совпадает с минимумом интенсивности для другой линии с длиной волны + d .

Дифракционные решетки, применяемые для работы в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их часто-

той (от 0,25 штрих/мм в

ИК-области до 6000 штрих/мм в рентгеновской области спектра). Большинство современных дифракционных решеток имеют

штрихи ступенчатого профиля (эшелетт), позволяющие сконцентрировать основную часть падающего излучения в направлении какого-либо одного не-

48

нулевого порядка спектра, ослабляя остальные. Использование таких решеток позволяет создавать спектральные приборы с большой светосилой и очень высокой разрешающей способностью.

Разрешающая способность оптических приборов характеризует способность этих систем давать раздельное изображение двух расположенных близко друг к другу точек объекта. Минимальное линейное (или угловое) расстояние между двумя точками, начиная с которого их изображения сливаются и перестают быть различимыми, называется линейным (или угловым) пределом разрешения. Обратная величина является количественной мерой разрешающей способности оптических приборов, которая обусловлена волновыми свойствами света. Вследствие дифракции лучей от предмета в оптической системе любая точка объекта изображается в виде светлого пятна, окруженного попеременно темными и светлыми кольцами. Поэтому выражение для предела разрешения можно получить, только учитывая дифракционные явления.

Так, для микроскопа предел разрешения (в отраженном свете) при наклонном падении света на объект определяется следующим образом:

z 0,5 nsin u , где п – показатель преломления среды между предметом и

2

линзой объектива; u – апертурный угол (угол между крайними лучами конического светового пучка, входящего в объектив).

Глаз также имеет предел разрешения z0 = 70 мкм на расстоянии d0, по-

этому вводится понятие полезного увеличения микроскопа: ГП Z0

Z

5.3. Дифракция на пространственной решётке. Формула ВульфаБрэггов.

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения. Кристаллы, являясь трехмерными решетками, имеют постоянную порядка 10 -10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете ( 5 10 -7 м). Лауэ обратил внимание на то, что кристаллы можно использовать в качестве пространственных решеток для наблюдения дифракции рентгеновского излучения, поскольку расстояние между атомами в кри-

сталлах одного порядка с длиной волны рентгеновского излучения

( 10 -12– 10 -8 м).

Метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо друг от друга русским ученым Г. В. Вульфом и английскими физиками Г. и Л.Брэггами [отец (1862-1942) и сын (1890—1971)]. Они предположили, что дифракция рентгеновского излучения является результатом его отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки). Эти плоскости называются сетчатыми, или атом-

49

ными, плоскостями кристалла. Расстояние d между двумя соседними сетчатыми плоскостями называется межплоскостным расстоянием, а угол – углом скольжения. Разность хода лучей, отраженных от двух соседних сетчатых плоскостей: =2dsin .

Представим кристалл в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) падает под углом скольжения (угол меж-

ду направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности

(дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Byльфа — Брэггов:

2dsin = m , m = 1, 2, 3,...

При разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн , наблюдается дифракционный максимум.

При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться непрерывным рентгеновским спектром, испускаемым рентгеновской трубкой. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн , удовлетворяющие условию 2dsin = m .

Формула Вульфа-Брэггов используется при решении двух важных за-

дач:

1. Наблюдая дифракцию рентгеновского излучения известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя и m, можно найти межплоскостное расстояние d, т.е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа.

Формула Вульфа-Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно

электронографией и нейтронографией.

2. Наблюдая дифракцию рентгеновского излучения неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя и m, мож-

50