Модель Дебая

В общем случае вычисление функции D( ) является сложной задачей. Рассмотрим простейшую модель фононного спектра.

Модель Дебая – изотропный кристалл без дисперсии со сферической зоной Бриллюэна

Без дисперсии

частота прямо пропорциональна

волновому числу, =Vзв |k|

Две ветви поперечных и одна ветвь продольных акустических колебаний

|| Vзв||

k

,

Vзв

k

Поверхности постоянной

||

частоты – сферы с радиусами k|| Vзв|| ,

k Vзв

Изотропный кристалл

Скорости звука Vзв|| , Vзв

одинаковы

для всех направлений

Сферическая

Предельные значения kпред

и iпред

зона Бриллюэна

одинаковы для всех направлений

Спектральная плотность акустических фононов

					в модели Дебая		равна
В модели Дебая Vg=const и интеграл в формуле для плотности состояний
							кривой
равняется площади сферы.
Трёхмерный случай:							под
		V 2			пред
					i		Площадь
D	III		2 3
			2 Vзв
i
					пред
		0			i

Значение iпред находится из условия нормировки

количеству состояний

iпред	V iпред 3	N		6	2	N	1 3
Di ( )d N	2 3		iпред Vзв
0	6 Vзв			V

Так как скорость продольных колебаний больше скорости поперечных:

пред пред пред
||	1	2

Что будет, если учесть дисперсию и реальную форму зоны Бриллюэна?

Зона Бриллюэна имеет форму многогранника. Предельные значения kпред и iпред зависят от

направления. Зависимости (k) обрываются при разных значениях |k|.

Разделим поверхность зоны на малые участки, каждый – основание пирамиды с вершиной в центре зоны, у каждой пирамиды свое значение kпред . Для удобства объёмы

всех элементарных пирамид одинаковы. Общая плотность состояний – сумма элементарных плотностей всех пирамид.

На графике: спектральные плотности поперечных акустических фононов для трёхмерного случая.

Пунктир – модель Дебая для трехмерного случая; Сплошная линия – реальный кристалл без дисперсии; Штрих-пунктир – реальный кристалл с учётом дисперсии.

Что будет, если учесть анизотропию кристалла?

Если учесть анизотропию, то скорость звука будет зависеть от направления k и скорости поперечных волн в разных направлениях будут различаться. Снимается вырождение поперечных ветвей колебаний.

На рисунке показаны плотности фононных состояний для алюминия: а) парциальные, б) полная.

Спектральная плотность оптических фононов

Оптические колебания в целом занимают сравнительно узкий интервал.

Функции спектральной плотности оптических фононов представляют собой достаточно узкие кривые с резкими максимумами. В общем случае имеют сложный вид.

max k 2 , k

,

В центре зоны Бриллюэна в окрестности точки k=0

max

(считаем, что частота в этой точке максимальна)

k

2 k 2

max

Тогда

V

dS

V

4 k 2

V

4 max

V

D

S

max

2 3

Vg k

2 3

k

2 3

2

max

4 2 3 2

опт

Число атомов

max

N

V

max

в кристалле

опт

опт

Di

k 0

Di

( )d

j

2 3 2

Число атомов

4

minопт

в базисе

Статистика фононов

Фононы:

1)Подчиняются статистике Бозе независимо от спина атомов, составляющих решетку.

2)Химический потенциал фононного газа равен нулю.

Мода фононного	Квантовый осциллятор	nq 0,1, 2, ...
спектра с частотой q	Enq q nq 1 2 ,
	q

Вероятность того, что при температуре T

осциллятор с собственной частотой qEnq
находится в состоянии nq с энергией			q
Нормируя Wnq	1 ,	получим
nq 0

				Enq
W	A exp			q
n	q			k T
q				B

W 1 exp nq

q exp k T B

nq q kBT

Среднее число фононов nqср nqWnq , Обозначим q kBT x;

nq 0

nq q

d

nq exp

nq exp nq x

exp

kBT

n 0

n 0

dx

q

q

q

n 0

ср

1

exp

x

exp

x

1

Отсюда

nq

1 exp

x 2

q

exp

1

kBT

		d			1
nq x
		dx 1			exp	x

nср		1
q		q
	exp			1
	kBT

Статистика фононов

q

Средняя энергия

Eqср EnqqWnq

q nqWnq ,

nq 0

2

nq 0

Eqср

q

nqср q

q

q

q

uqср

2

2

q

2

exp

1

kBT

Первое и второе слагаемые представляют собой энергию нулевых колебаний и среднюю тепловую энергию возбужденных акустических фононов с частотой q

соответственно

Низкие температуры	ср			q		ср			q
T q kB	nq	exp				uq	q exp
				kBT					kBT

Среднее число фононов и средняя тепловая энергия экспоненциально малы

Высокие температуры	nqср kBT	uqср kBT
T q kB	q

Среднее число фононов и средняя тепловая энергия возрастают пропорционально T

Температура Дебая

Температурой Дебая TD называется некоторая характерная для каждого

вещества температура, при которой энергия тепловых колебаний решётки становится сравнимой с энергией высокочастотных фононных мод.

Температуру Дебая, можно ввести однозначно только

TD

пред

D

для одномерной цепочки атомов

kB

kB

Трехмерный случай, реальные кристаллы - анизотропия, дисперсия, поэтому

необходимо усреднение.

При малых k аппроксимируем поверхности постоянной частоты сферами с

некоторыми средними радиусами |ki( )|2=kx2+ky2+kz2 и определим

Viзв

Предельную частоту найдем из условия

пред

ki

D( )d 3N

где считаем D( ) параболической

0

1 3

3

V 2

1

1

1

6

2

N

D

Di

2

,

пред

Vзв

2

3

3

3

где

i 1

Vзв||

Vзв 1

Vзв 2

V

пред

3

1

1

1

T

,

пред

,

и

3

3

3

3

kB

Vзв

Vзв 1

Vзв 2

D

D

Vзв||

Особенности статистики оптических фононов

Это бозе-газ, как и акустические фононы. Характерная особенность оптических фононов – их минимальная энергия по порядку величины соответствует максимальной энергии акустических фононов, то есть близка к тепловой энергии kBTD ,соответствующей

температуре Дебая.

Число возбуждённых оптических фононов экспоненциально быстро уменьшается при понижении температуры ниже дебаевской. Принято говорить, что оптические фононы быстро вымерзают при понижении температуры.

В кристалле возбуждены лишь длинноволновые колебания с энергией, малой по сравнению с D

Физический смысл температуры Дебая

как параметра, характеризующего энергетическое состояние кристалла

Делит шкалу температур на две области: При kBT D

				В кристалле существуют все колебания , включая
	При kBT D
				колебания с предельно возможной частотой,
				энергия которых порядка		D