ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра физики твердого тела
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практических работ по дисциплине «Физика твердого тела» для студентов направлений 16.03.01 «Техническая физика» (профиль «Физическая электроника»), 22.03.01 «Материаловедение и технология материалов» (профиль «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов») очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук А.В. Калгин, д-р физ.–мат. наук Л.Н. Коротков, д-р физ.–мат. наук О.В. Стогней, канд. физ.-мат. наук Л.И. Янченко
УДК 539.21
Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Физика твердого тела» для студентов направлений 16.03.01 «Техническая физика» (профиль «Физическая электроника»), 22.03.01 «Материаловедение и технология материалов» (профиль «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Л.И. Янченко. Воронеж, 2014. 26 с.
Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения в области физики твердого тела в соответствии с основными темами лекционного курса: полупроводниковые и диэлектрические материалы.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Мет. практика.doc.
Ил. 5. Библиогр.: 1 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.А. Юрьев
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Е. Калинин
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Ó ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014
1. Диэлектрики
1.1. К конденсатору приложено переменное напряжение постоянной амплитуды. Конденсатор заполнен полярным диэлектриком. Время релаксации τ при данной температуре известно.
Вывести выражение для тепловых потерь в зависимости от частоты и показать, что максимальное значение ε″ приходится на частоту ωрел (ωрел = 1/τ − частота релаксации), при которой потери составляют половину своего максимального значения.
Может показаться, что это удобный прямой метод определения частоты релаксации ωрел, но на самом деле для использования на практике он не слишком хорош. Почему?
Решение. Тепловые потери в диэлектрике связаны с мнимой частью диэлектрической проницаемости. Для «хорошего» полярного диэлектрика
(1.1)
В общем случае значение тока, текущего через конденсатор, пропорционально ω(ε′ − jε″). В данном случае среднее рассеяние энергии пропорционально ωε″. Подставляя значение ε″, находим, что величина потерь пропорциональна ω2τ/(1+ ω2τ2). Эта величина растет, асимптотически достигая насыщения при ω → ∞. Нетрудно видеть, что при ω = 1/τ рассеяние энергии равно половине величины потерь при ω → ∞.
Поскольку τ зависит от температуры, то эти результаты можно применять только тогда, когда температура образца поддерживается постоянной. Поэтому измерение тепловых потерь разных образцов надо проводить при одной и той же температуре.
1.2. Пусть в плазме при низком давлении концентрация свободных электронов равна п. Показать, что частотная зависимость диэлектрической проницаемости плазмы описывается формулой
(1.2)
где f – частота электромагнитного поля (ω = 2π f).
Рассмотреть, как распространяется через эту плазму электромагнитное излучение различных частот. С этим явлением весьма сходны явления в некоторых материалах, обладающих электропроводностью. Применить полученный результат к металлическому натрию и сравнить с экспериментально наблюдаемыми значениями критическое значение частоты, при которой εr становится равной нулю.
Решение. В переменном электрическом поле Esinωt на электрон действует сила Esinωt,сообщающая ему ускорение. Уравнение движения электрона имеет вид
(1.3)
где x – величина смещения электрона из положения равновесия. Отсюда
(1.4)
Результирующая поляризация (электрический момент единицы объема) по определению равна (−eEsinωt/mω2)ne. Диэлектрическая восприимчивость (по определению) находится как отношение величины поляризации к напряженности поля, умноженной на ε0:
(1.5)
следовательно, для диэлектрической проницаемости εr = 1+χ получим
(1.6)
Допустим, что этот результат применим к металлу, например к натрию, у которого на каждый атом приходится по одному свободному электрону; подставляя значения п, т, е и ε0, получим
Этот результат можно грубо интерпретировать следующим образом: при очень высоких частотах εr стремится к единице и металл оказывается прозрачным для электромагнитного излучения, а при низких частотах εr будет отрицательной и распространение электромагнитных волн становится невозможным.
Критическая частота, отвечающая значению εr = 0, в данном случае соответствует длине волны около 1400 Å. Поскольку приближение было очень грубым, то не удивительно, что нет точного совпадения с наблюдаемой длиной волны, отвечающей краю поглощения (~ 2000 Å).
1.3. а) Пусть производится измерение диэлектрической проницаемости воды, а затем той же воды после ее превращения в лед. Температура образца понижается от нескольких градусов выше 0 °С до нескольких градусов ниже 0 °С. Если при температуре ниже 0 °С не принять необходимых предосторожностей, то можно получить совершенно противоречивые результаты. Вкратце объяснить, почему это так.
б) Пластины конденсатора сделаны из материала с высокой диэлектрической проницаемостью, толщина их 0,5 мм. К сожалению, обкладки прилегают не плотно и в некоторых местах между обкладками и диэлектриком есть зазоры толщиной порядка 1 мкм.
Определить количественно влияние этих зазоров на результирующую емкость, пробивное напряжение конденсатора и постоянную времени.
Объяснить качественно, как изменятся эти характеристики, если конденсатор сжать так, чтобы уменьшить ширину зазоров.
|
Диэлектрический материал |
Зазор |
εr |
1000 |
1 |
Пробивное напряжение, МВ/м |
2,5 |
2,5 |
Проводимость, Ом-1м-1 |
10-6 |
0 |
Решение. а) Если не принять мер в момент, когда происходит замерзание, то в твердом теле могут образоваться поры. Диэлектрические свойства пор обычно совсем не такие, как у твердого диэлектрика, поэтому значения диэлектрической проницаемости могут потерять смысл (межфазная поляризация).
б) Суммарная емкость рассматриваемого конденсатора есть, в сущности, емкость трех последовательно соединенных конденсаторов: два из них образованы зазорами у каждой обкладки, а третий – самим диэлектриком.
Непосредственное вычисление показывает, что в этом случае эффективная диэлектрическая проницаемость может быть не более 200, т. е. составляет 1/5 от истинной для данного материала. Если обкладки сжать, то эффективная диэлектрическая проницаемость увеличится до истинного значения, равного 1000; ситуация улучшится.
Электрическая индукция D = εrε0E непрерывна при переходе через все три слоя, так что напряженность электрического поля в зазорах будет в 1000 раз больше, чем в диэлектрике. Пробивное напряжение для двух последовательно соединенных зазоров равно 5 В, что соответствует напряжению
в диэлектрике, равному 1,25 В. Суммарное пробивное напряжение всего конденсатора составит всего 6,25 В.
Сравнивая этот результат с ожидаемым значением, равным 1,25 кВ, видим, насколько плохо обстоит дело. Довольно-таки неожиданно, что сжатие мало помогает, если не удастся ликвидировать пористость.
Наличие конечной проводимости σ электрически эквивалентно сопротивлению R, подключенному параллельно данному материалу. Если у диэлектрика нет пор, то при площади конденсатора А и толщине d имеем:
С = εrε0A/d (1.7)
и R = d/Aσ, (1.8)
откуда
τ = RC = εrε0/σ, (1.9)
т.е. постоянная времени τ не зависит от геометрии конденсатора с диэлектриком.
Предположим, что эквивалентный контур имеет вид, изображенный на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Эквивалентный контур для конденсатора с
порами.
Нетрудно видеть, что в этом случае уже не существует универсальной постоянной времени
Действительно, рассмотрим конденсатор, соединенный с источником напряжения, а затем отключенный; центральный конденсатор Сd разряжается с постоянной времени RСd, между тем как зазоры, в принципе, никогда не разрядятся.
1.4. Плоскопараллельный конденсатор заполнен изолирующим жидким диэлектриком. В диэлектрике неизбежно присутствуют частицы примеси, и это может привести к электрическому пробою.
а) Пусть малая сферическая частица примеси, обладающая электропроводностью, соприкасается с одной из пластин конденсатора и захватывает заряд, достаточный для того, чтобы ее собственный потенциал уравновесил потенциал электрода.
Показать, что время, которое потребуется для того, чтобы эта частица дошла до второй обкладки, обратно пропорционально квадрату приложенного напряжения и не зависит от размера частицы.
б) Пусть к одной из обкладок прилипло маленькое полусферическое инородное тело с очень высокой диэлектрической проницаемостью.
Показать, что напряженность электрического поля в вершине полусферы примерно втрое больше, чем средняя напряженность в конденсаторе. Разобрать, какие практические затруднения возникнут, если присутствуют непроводящие примеси, и сопоставить приложенное напряжение со временем, которое должно пройти до пробоя.
Решение. а) Если радиус проводящей частицы r, то ее емкость
С = 4πεrε0r. (1.10)
Если частица заряжается от напряжения V, то заряд на ней
Q = 4πεrε0rV. (1.11)
В электрическом поле напряженностью Е на этот заряд действует сила, равная
F = EQ. (1.12)
Поэтому, если расстояние между электродами равно d, то
E = V/d, (1.13)
а сила, действующая на частицу, равна
F = 4πεrε0rV2/d. (1.14)
В равновесных условиях скорость частицы задается законом Стокса:
F = 6πηrυ, (1.15)
откуда
(1.16)
а время, требуемое для того, чтобы дойти до второй обкладки, будет равно
(1.17)
т.е. t не зависит от r. Здесь η – вязкость вещества.
б) Напряженность электрического поля в вершине полусферы можно найти методами теории потенциала, используя способ изображений. Распределение напряженности поля на рис. 1.2, а точно такое же, как и на верхней половине рис. 1.2, б.
Рис. 1.2. Распределение напряженности поля в
полусферической диэлектрической неоднородности на одном из электродов.
а) Истинная конфигурация, б) эквивалентная
конфигурация
Получается, что напряженность поля в вершине полусферы равна
где E0 – напряженность однородного поля в точках, достаточно удаленных от места нарушения ε2. Поскольку ε2 >> ε1, то напряженность поля в вершине этой полусферы фактически втрое больше, чем средняя напряженность поля в диэлектрике.
Любая непроводящая полярная примесь будет поляризоваться полем и на нее будет действовать результирующая сила PdivE, где P и E пропорциональны приложенному напряжению V.
Пробой происходит потому, что частицы примеси непрерывно движутся к этой полусфере, в конце концов прилипают к ней и постепенно образуют мостик между двумя обкладками. Время, необходимое для этого процесса, обратно пропорционально скорости частиц. Воспользовавшись снова законом Стокса, получаем, что пробой произойдет по истечении времени, пропорционального V-2.
1.5. В идеально непроводящий кристалл введена примесь в количестве один примесный атом на каждые 106 атомов основного вещества. Каждый атом примеси вносит по одному носителю тока с зарядом, равным заряду электрона. Пусть число атомов основной решетки кристалла (на единицу объема) равно 1028 м-3. Установлено, что при частоте 1 МГц примесные носители зарядов вносят в ε″ вклад Δε″ = 10.
Определить коэффициент диффузии примеси и проводимость вещества. Применить результат для грубой оценки величины ε″ (при частоте 1 МГц) германия, обладающего собственной проводимостью.
Решение. Предположим, что кристалл используется в качестве диэлектрика, помещенного между электродами. Пусть емкость системы электродов в вакууме равна С0. Емкость С системы с диэлектриком тогда равна
С = εrС0. (1.18)
Если приложено напряжение V, то для результирующего тока имеем
iрез = jωCV = jω εrС0V. (1.19)
Для расчета комплексной диэлектрической проницаемости нужно записать полный ток:
iполн = jω(ε′ − jε″) С0V. (1.20)
В данном случае, очевидно, совпадающая по фазе компонента тока равна ωε″С0V. Безотносительно к геометрии конденсатора легко показать, что току, совпадающему по фазе с полем, отвечает проводимость
σ = ωε″ε0, (1.21)
откуда в нашем случае получаем σ ≈ 5,5∙10-4 Ом-1м-1.
Коэффициент диффузии D можно найти, воспользовавшись формулой Эйнштейна
D = kTμ/e (1.22)
и соотношением между подвижностью и проводимостью
σ = Ndμne Ом-1м-1. (1.23)
В нашем случае при Т ≈ 300 °К получим D ≈ 9∙10-9 м2∙c-1.
Поскольку собственная проводимость германия имеет порядок 0,5 Ом-1м-1, то соответствующие значения ε″ будут в 1000 раз больше, т. е. ε″ ≈ 10 000.