3.2.2. Пропускная способность mimo – систем

В этом разделе приведены известные из литературы формулы для расчета пропускной способности и спектральной эффективности MIMO – систем. Результаты расчетов и моделирования для различных MIMO – архитектур сравни­ваются между собой.

Вначале приведем формулу Шеннона для расчета удельной пропускной спо­собности SISO - системы с одним пространственным каналом

(3.8)

В формуле (3.8) С - удельная пропускная способность, измеряемая в бит/с·Гц. Это максимальное количество бит, которые можно передать за одну секунду со сколь угодно малой вероятностью ошибки в полосе частот 1 Гц. Через SNR (Single to Noise Ratio) обозначено отношение мощности сиг­нала на входе приемника к мощности шума.

Для удельной пропускной способности MIMO - системы с передающими и приемными антеннами справедлива следующая формула [17]:

(3.9)

Входящие в формулу (3.9) величины - это собственные значения матри­цы , т. е. величины, которые удовлетворяют уравнению

(3.10)

В (3.10) U - это собственный вектор матрицы . Через обозначена эрмитово сопряженная матрица, т. е. комплексно сопряженная и транспонированная. Известно, что все собственные значения матрицы неотрица­тельны.

Сравнение формул (3.9) и (3.8) подтверждает физические пояснения разд. 3.2.1. Действительно, MIMO - система эквивалентна - канальной системе связи. Ее пропускная способность определяется суммой слагаемых. Отно­шение мощности сигнала к мощности шума в канале с номером зависит от доли мощности, направляемой в этот канал при передаче (от ) и от значения . Из (3.9) виден физический смысл . Величина равна коэффициенту передачи по мощности соответствующего пространственного канала.

При равномерном распределении мощности между всеми пространственны­ми каналами формула (3.9) принимает вид:

(3.11)

Вместо формулы (3.11) можно пользоваться эквивалентной ей формулой:

(3.11а)

В (3.11 а) I — единичная матрица и через det обозначен определитель записанной в скобках матрицы. Последняя формула позволяет вычислять удельную пропускную способность без вычисления собственных значений.

Для получения численных значений удельных пропускных способностей различных MIMO - систем выполнялось моделирование. При моделировании все фединги матрицы канала Н полагались независимыми гауссовыми случайными комплексными величинами с нулевыми средними значениями. Дисперсия их полагалась равной 1 (дисперсии мнимой и действительной час­тей по 1/2). То есть при моделировании генерировались случайных чисел, затем по формуле (3.11) или (3.11а) вычислялось значение C. Эта про­цедура многократно повторялась для различных случайных матриц Н и вы­числялось среднее значение удельной пропускной способности, которое на­носилось на график зависимости С(SNR).

Некоторые результаты моделирования приведены на рис. 3.6—3.9.

На рис. 3.6 приведены графики зависимости пропускной способности от SNR для MIMO - систем с двумя передающими ( ) и с различным числом приемных антенн ( ). Для сравнения на графике приведена кривая для SISO системы ( ). Сравнение приведенных кривых показывает, что переход от SISO системы к MIMO дает значительное увеличение скорости передачи информации и это увеличение тем больше, чем больше число приемных антенн.

Выигрыш, получаемый при увеличении числа приемных антенн, можно характеризовать величиной уменьшения SNR в децибелах, при котором получается прежняя пропускная способность. Результат графического сравнения систем 2x2, 2x4 и 2x8 показан на рис. 3.7. Из рисунка видно, что три приведенные кривые приближенно совмещаются при смешении второй влево на -4,5 дБ и при смещении третьей на -8,5 дБ. То есть в MIMO - системе с двумя передающими антеннами переход от двух приемных антенн к четырем дает выигрыш примерно 4,5 дБ, а переход к восьми приемным антен­нам примерно 8,5 дБ.

Рис. 3.6. Зависимость пропускной способности MIMO-систем от SNR

Рис. 3.7. Сравнение пропускной способности MIMO-систем при различном числе приемных антенн

Рис. 3.8. Зависимость пропускной способности MIMO-систем от SNR при равном числе передающих и приемных антенн

Рис. 3.9. Сравнение пропускной способности MIMO-систем при различном числе антенн

На рис. 3.8 рассмотрены MIMO - системы, когда число приемных антенн рав­но числу передающих ( ). Приведенные графики показывают, что пропускная способность растет с ростом числа антенн. Можно заметить, что пропускная способность MIMO - системы приближенно в раз больше пропускной способности 1x1 SISO - системы (по крайней мере, для больших SNR). Графическое подтверждение этого факта приведено на рис. 3.9. На этом рисунке приведены те же самые кривые, что и на рис. 3.8, но в отличие от них они поделены на число антенн . Также приведен график для 1x1 сис­темы. Близость всех четырех кривых на рис. 3.9 подтверждает - кратное увеличение пропускной способности.

Численные результаты рис. 3.9 обосновывают справедливость аналогий на рис. 3.4, MIMO - система связи аналогична многопроводной линии связи, а SISO - однопроводной.