Глава 5 оболочки

5.1 Общие сведения об оболочках

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина h) мало по сравнению с другими размерами тела. Оболочки принадлежат к сплошным непрерывным системам (к дискретным системам относятся, например, стержневые системы). В настоящей главе рассматриваются наиболее часто применяемые в машиностроении оболочки постоянной толщины.

Оболочки широко применяются в различных отраслях техники. Например, подкрепленной замкнутой оболочкой является прочный корпус подводной лодки. Корпус парогенератора или турбины энергетической установки также рассчитывают как оболочку.

Цистерны, воздушные и газовые баллоны обычно представляют собой оболочки вращения цилиндрической, шаровой или каплевидной формы. Как оболочки рассматриваются и строительные конструкции  перекрытия и купола всевозможных очертаний со значительными пролетами, а также самолетные конструкции (фюзеляж, крылья и оперение).

Большое распространение оболочек объясняется их экономичностью по сравнению с равнопрочными конструкциями, состоящими из плоских пластин. Например, при одной и той же площади F поперечного сечения сосуда и одинаковом постоянном внутреннем давлении наибольшие напряжения в стенке сосуда вдали от торцов при прямоугольной призматической форме (рис. 78,а) будут в несколько десятков раз больше, чем при цилиндрической форме (рис. 78, б). Это обусловлено тем, что в пластинах, образующих прямоугольный сосуд, вследствие изгиба наблюдается большая неравномерность распределения напряжении, чем в цилиндрической оболочке.

а)	б)

Рис. 78

Срединной поверхностью оболочки называется геометрическое место точек, равноудаленных от ее наружной и внутренней поверхностей. Считается, что кромка незамкнутой оболочки образована поверхностью, нормальной к срединной поверхности.

Условно, в зависимости от отношения толщины h оболочки к наименьшему радиусу R кривизны ее срединной поверхности, различают два класса оболочек: толстые оболочки, у которых , и тонкие оболочки, у которых . В уравнениях, относящихся к тонкой оболочке, наибольшим значением можно пренебречь по сравнению с единицей, не превышая обычную для технических расчетов погрешность в 5 % :

Большая часть оболочек, применяемых в машиностроении, относится к тонким оболочкам, однако основана на использовании достаточно сложного математического аппарата. Их теория построена в предположении, что материал изотропен, обладает идеальной упругостью, подчиняется закону Гука и перемещения точек оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Кроме того, используются два допущения теории пластин: 1) о прямых нормалях, т. е. считается, что линейные элементы оболочки, нормальные к срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности; 2) об отсутствии поперечного давления, т. е. предполагается, что нормальные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, пренебрежимо малы.

Напомним некоторые сведения из теории поверхностей. В любой точке К криволинейной поверхности (рис. 79,а) имеется плоскость П, касательная к поверхности, в которой лежат все касательные Т к плоским кривым S, проведенным на поверхности. Нормаль n в точке К перпендикулярна к касательной плоскости.

а)	б)

Рис. 79

Нормальное сечение поверхности в точке К получается, если рассечь ее плоскостью V, содержащей нормаль п (рис. 79,б). В любой точке К можно провести на поверхности две взаимно перпендикулярные линии главной кривизны, из которых одна имеет наибольший радиус кривизны R₁, а другая наименьший R₂ по отношению к радиусам всех линий, проходящих через точку К. Величины и , обратные этим радиусам, называются главными кривизнами. Центры кривизны О₁ и O₂ в общем случае не совпадают.