- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
Степенная функция имеет вид ,
Дадим аргументу приращение . Функция получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем
.
Тогда
.
Находим предел составленного отношения при :
Таким образом,
.
Например, , , .
Ниже будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом (а не только натуральном).
Показательная функция
Показательная функция имеет вид , ,
Найдем сначала производную функции . Придав аргументу приращение , находим приращение функции : . Следовательно, и
.
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью
при .
Итак, , т. е.
.
Теперь рассмотрим функцию , . Так как , то по формуле производной сложной функции находим:
.
Таким образом, .
Пример 1.5. Найти производную функции .
Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим
.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция имеет вид
, ,
Найдем сначала производную функции . Для нее
.
Переходя к пределу при и воспользовавшись эквивалентностью при , получаем:
,
т. е. или .
Теперь рассмотрим функцию .
Так как , то
.
Таким образом, .
Пример 1.6. Найти производную функции .
Решение: .
Производную логарифмической функции можно найти; иначе. Так как обратной для нее функцией является , то по формуле производной обратной функции имеем:
.
Тригонометрические функции
Рассмотрим функции , , ,
Для функции имеем:
.
Переходя к пределу при и воспользовавшись первым замечательным пределом получаем
,
т.е. или .
Найдем производную функции , воспользовавшись формулой производной сложной функции:
,
т.е. .
Для нахождения производных функций и воспользуемся формулой производной частного:
,
т.е. .
Проделав аналогичные операции, получим формулу
.
Этот результат можно получить иначе:
.
Пример 1.7. Найти производную функции .
Решение: .
Обратные тригонометрические функции
Рассмотрим функции , , ,
Пусть . Обратная ей функция имеет вид , . На интервале верно равенство .
По правилу дифференцирования обратных функций
,
где перед корнем взят знак плюс, так как при .
Итак, .
Аналогично получаем, что . Эту формулу можно получить проще: так как , т.е. , то .
Найдем производную функции .
Она является обратной к функции , где .
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, пот] л у чаем, что
.
Итак, .
Функции и связаны отношением
, т.е. .
Дифференцируя это равенство, находим
,
т.е. .
Пример 1.8. Найти производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Решение: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Замечание: Найдем производную степенной функции с любым показателем . В этом случае функция рассматривается для .
Можно записать . По правилу дифференцирования сложной функции находим
,
т.е. .
Формула остается справедливой и для , если функция существует:
.
при всех .
Пример 1.9. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение: Находим :
,
т.е. . Подставляем значение в данное уравнение:
, т. е. , 0 = 0.
Функция удовлетворяет данному уравнению.