- •Тема 1. Модели линейного программирования
- •Примеры задач линейного программирования
- •Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
- •2. Задача оптимального использования ресурсов
- •Условия неотрицательности получаемого решения
- •Условие неотрицательности решения
- •4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты)
- •Условие неотрицательности решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 2. Транспортная задача
- •Нахождение первоначального опорного плана
- •Циклы пересчёта
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих дополнительные условия
- •Распределительный метод решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Тема 3. Сетевые модели и методы
- •Сетевая модель и ее основные элементы
- •Допустим, перед фирмой стоит задача реконструкции помещения. Перечень работ представлен в табл. 3.1. Сетевой график представлен на рис. 26.
- •Правила построения сетевых графиков
- •Понятие пути
- •Построение графика Ганта
- •Расчет временных параметров событий
- •Поздний срок свершения завершающего события
- •Расчет временных параметров работ
- •Сетевое планирование в условиях неопределённости
- •Тема 4. Элементы теории массового обслуживания
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания
- •(Замкнутая система массового обслуживания)
- •Тема 5. Модель межотраслевого баланса
- •Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
- •Основные балансовые соотношения
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева
- •Методы отыскания вектора валовых выпусков
- •Отыскание вектора конечной продукции
- •Смешанная задача межотраслевого баланса
- •Коэффициенты полных материальных затрат
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Тема 6. Модели управления запасами
- •Тема 7. Элементы теории игр
- •Матричные игры
- •Игра с седловой точкой
- •Решение игры в смешанных стратегиях
- •Игра два на два (2 х 2)
- •Геометрическое решение игры
- •Игры 2 х n и m х 2
- •Тема 8. Элементы теории статистических игр. Игры с «природой»
- •Критерии выбора стратегии
- •Заключение
- •Библиографический Список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
С. В. Амелин
методы оПТИМАлЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Учебное пособие
Воронеж 2013
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
С.В. Амелин
методы оПТИМАлЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2013
УДК 519.85 (075) + 658.012.122 (075)
Методы оптимальных решений : учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (3,85 Мб) / С.В. Амелин. - Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013. – 1 электрон.опт. диск (CD-ROM). – Систем.требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; WindowsXP ; MS Word 2007 или более поздняя версия ; 1024x768 ; CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана. – Диск и сопровод. материал помещены в контейнер 12x14 см.
Представлены основные разделы оптимизационного экономико-математического моделирования сложных организационно-экономических систем и процессов, необходимые экономистам и менеджерам для обоснования управленческих решений. При изложении материала используется компьютерно-ориентированный подход.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 080100.62 «Экономика», профилям «Экономика предприятий и организаций», «Экономика предпринимательской деятельности», «Финансы предприятий и организаций», дисциплине «Методы оптимальных решений».
Табл. 37. Ил. 80. Библиогр.: 11 назв.
Научный редактор д-р экон. наук, проф. О.Г. Туровец
Рецензенты: кафедра информационных технологий и математических методов Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р экон. наук, проф. В.В. Давнис);
канд. экон. наук, доц. И.Н. Щепина
© Амелин С.В., 2013
© Оформление. ФГБОУ ВПО
“Воронежский государственный
технический университет”, 2013
Введение
Сложный характер теоретических и практических задач современной рыночной экономики требует использования математических методов в экономических исследованиях. Проблемы, с которыми сталкиваются специалисты в различных областях экономики, зависят от множества различных, противоречивых факторов, меняющихся со временем и влияющих на другие проблемы и процессы.
В последнее время математическое моделирование является одним из важнейших методов изучения и анализа экономических объектов и процессов и прогнозирования их развития. Важность использования математических методов в анализе экономических проблем подчеркивается тем, что Нобелевские премии в области экономики получают в основном за успехи в экономико-математическом моделировании.
Экономико-математическое моделирование – это один из эффективных методов описания сложных социально-экономических систем и процессов в целях выработки оптимальных решений.
Математические модели отображают экономические проблемы в абстрактной форме и позволяют учесть большое число различных характеристик исследуемых проблем.
Экономико-математическое моделирование призвано помочь руководителям различного ранга в выработке, обосновании и принятии эффективных, качественных, оптимальных решений в области экономики, организации производства и управления, в инвестиционном проектировании и в финансовой сфере. Это должно повысить надежность функционирования производственно-экономических систем.
Квалифицированные специалисты в различных областях экономической деятельности должны обладать обширными познаниями в сфере экономико-математического моделирования для решения задач оптимального распределения ограниченных ресурсов; выработки эффективных решений в условиях неопределенности, противоречивости ограничений; анализа производственно-экономической информации и прогнозирования развития исследуемых процессов на основе современных компьютерных технологий.
Из всего многообразия оптимизационных экономико-математических методов и моделей наибольшее распространение получили межотраслевые балансы, сетевые методы планирования и управления, теория массового обслуживания, модели управления запасами, теорию игр и статистических решений, математическое программирование. В данном пособии рассмотрим способы построения моделей и их применение для решения экономических задач. В результате освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» студенты должны обладать следующими компетенциями:
знать:
- основы математического моделирования, необходимые для решения экономических задач;
- основные теоретические положения использования оптимизационных экономико-математических методов при разработке, принятии и реализации эффективных управленческих решений на производстве в том числе и с применением средств автоматизации решения задач управления предприятием с использованием новых информационных технологий;
- приёмы сбора, анализа и обработки данных, необходимых для решения поставленных экономико-математических задач и способы содержательной интерпретации полученных результатов;
уметь:
- применять методы математического моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач;
- давать постановку задач и производить выбор моделей для оценки сложившейся ситуации и ее влияния на цели функционирования производственной системы;
- строить на основе описания ситуаций стандартные экономико-математические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты;
- определять необходимый набор критериев для поиска оптимального решения;
- учитывать в моделях субъективную информацию, риск и неопределенность при принятии управленческих решений;
- прогнозировать на основе стандартных экономико-математических моделей поведение экономических агентов, развитие экономических процессов и явлений;
- осуществлять выбор инструментальных средств для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчётов и обосновывать полученные выводы;
- использовать пакеты прикладных программ для моделирования при принятии управленческих решений.
владеть:
- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;
-современной методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов;
- методами и приёмами анализа экономических явлений и процессов с помощью стандартных оптимизационных экономико-математических моделей;
- способами сбора анализа и обработки данных, необходимых для решения поставленных экономико-математических задач, анализа и содержательной интерпретации результатов расчетов и обоснования полученных выводов;
- способностью критически оценить предлагаемые варианты управленческих решений и разработать и обосновать предложения по их совершенствованию с учетом критериев социально-экономической эффективности, рисков и возможных социально-экономических последствий.
Пакет программ прикладного математического моделирования ППП PRIMA в среде Excel для персональных компьютеров разработан Амелиным С.В., д.э.н., профессором кафедры экономики и управления на предприятии машиностроения Воронежского государственного технического университета.
Тема 1. Модели линейного программирования
В результате изучения данной темы студенты должны:
знать:
- область применения моделей оптимального планирования и управления в экономике;
- основные понятия линейного программирования;
- методы решения задач линейного программирования;
уметь:
- формулировать постановку различных задач линейного программирования;
- находить решение задач линейного программирования с помощью графического и симплексного методов;
- давать экономическую интерпретацию полученных результатов решения задач линейного программирования;
- применять методы линейного программирования для решения практических задач;
владеть:
- математическим аппаратом линейного программирования;
- практическими навыками формулирования и решения задач линейного программирования, в том числе с помощью ЭВМ.
Раздел математических методов, в котором рассматриваются способы решения задач на нахождение экстремума функции цели при ограничении области допустимых значений в форме уравнений или неравенств, называется математическим программированием. Другими словами, математическое (оптимальное) программирование рассматривает задачи планирования, распределения ограниченных ресурсов наилучшим образом, для достижения поставленных целей.
Общая задача математического программирования имеет вид:
определить экстремум функции
f(x) extremum (max, min),
при выполнении условий
gi(x) = (, )bi, (i = ),
x = (x1, x2,… xj …xn), xj 0, (j = ),
где f(x) – целевая функция;
gi(x) - функция ограничения;
bi - действительное число, константа ограничения.
Если функции f(x) и gi(x) представлены в виде линейных функций, то оптимизационная задача называется задачей линейного программирования.
Таким образом, линейное программирование – это область математического программирования, посвященная теории и методам решения задач нахождения условного экстремума и характеризующаяся линейной зависимостью между переменными.
Примеры задач линейного программирования
1. Задача планирования производства
Фирма выпускает четыре вида персональных компьютеров (таблица 1.1).
Таблица 1.1
Цех |
Затраты времени на единицу продукции, ч |
Общий фонд времени, ч/мес |
|||
|
|
|
|
||
Узловой сборки |
15 |
12 |
4,8 |
3 |
480 |
Сборочный |
8,4 |
4,8 |
1,8 |
1,2 |
252 |
Испытательный |
2,4 |
1,2 |
0,12 |
0,06 |
90 |
Доход, ден.ед. |
6,5 |
6 |
1,5 |
0,75 |
__ |
Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить фирме, чтобы доход за месяц был бы максимальным. Построить экономико-математическую модель задачи.
Решение. Обозначим через х1 – количество изделий вида , которое должна выпустить фирма; х2 – количество изделий вида ; х3 – количество изделий вида ; х4 – количество изделий вида .
Найдем затраты времени на производственный процесс в цехах (они не должны превышать располагаемый фонд времени)
1 5x1 + 12x2 +4,8x3 + 3x4 480,
8,4x1+4,8x2+1,8x3 + 1,2x4 252, (1.1)
2,4x1 + 1,2x2 + 0,12x3 + 0,06x4 90.
Доход за месяц должен быть максимизирован:
f(x) = 6,5x1 + 6x2 + 1,5x3 + 0,75x4 max. (1.2)
Выпускается только выгодная продукция (в этом случае хi > 0), а невыгодная не производится (тогда хi = 0). Отсюда условие неотрицательности переменных
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0. (1.3)