- •Конспект лекций по курсу «механика» Часть 1
- •Введение
- •1.Основные понятия и аксиомы статики твердого тела
- •1.1.Основные понятия и определения
- •1.2.Аксиомы статики
- •1.3.Основные типы реакций связей
- •1.4.Система сходящихся сил
- •1.5.Момент силы относительно точки и оси
- •2.Плоская система сил
- •2.1.Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •2.2.Центр параллельных сил
- •2.3.Центр тяжести. Определение координат центра тяжести плоских фигур
- •3.Кинематика точки и твердого тела
- •3.1.Способы задания движения точки
- •3.1.1.Естественный способ задания движения точки
- •3.1.2.Координатный способ задания движения точки
- •3.2.Простейшие движения твердого тела
- •3.2.1.Поступательное движение
- •3.2.2.Вращательное движение
- •4.Сложное движение
- •4.1.Сложное движение точки
- •4.1.1.Относительное, переносное и абсолютное движение
- •4.1.2.Теорема о скорости точки в сложном движении
- •4.1.3.Плоскопараллельное движение твердого тела
- •4.1.4.Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное
- •4.1.5.Скорость точки плоской фигуры
- •4.1.6.Мгновенный центр скоростей и распределение скоростей точек плоской фигуры
- •5.Дифференциальные уравнения и основные задачи динамики материальной точки
- •5.1.Основные положения динамики. Аксиомы динамики
- •5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •5.3.Две основные задачи динамики точки
- •6.Динамика относительного движения материальной точки
- •6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса
- •7.Динамика твердого тела
- •7.1.Понятие о механической системе
- •7.2.Принцип Даламбера
- •7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела
- •7.4.Моменты инерции простейших однородных тел
- •8.Элементы аналитической механики
- •8.1.Обобщенные координаты
- •8.2.Возможные перемещения
- •8.3.Принцип возможных перемещений
- •9.Основы теории колебаний, теории удара
- •9.1.Устойчивость положения равновесия
- •9.2.Колебания системы с одной степенью свободы
- •9.3.Общие положения теории удара
- •10.Задачи сопротивления материалов
- •10.1.Основные допущения
- •10.2.Напряжения
- •10.3.Перемещения и деформации. Закон Гука
- •11.Изгиб и кручение стержней
- •11.1.Расчеты на прочность при кручении стержней. Крутящий момент. Построение эпюр
- •11.2.Расчеты на прочность при изгибе стержней
- •11.3.Примеры
- •12.Устойчивость сжатых стержней
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Формула Эйлера для критической силы
- •12.3.Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы
- •12.4.Практический расчет сжатых стержней
- •13.Теория тонких пластин
- •13.1.Основные понятия и гипотезы
- •13.2.Соотношения между деформациями и перемещениями
- •13.3.Напряжения и усилия в пластинке
- •13.4.Усилия в пластинке
- •13.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
- •14.Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях
- •14.1.Понятие об усталостном разрушении материала и его причины
- •14.2.Характеристики циклов напряжений
- •14.3.Предел выносливости
- •14.4.Факторы, влияющие на усталостную прочность материала
- •Библиографический список
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей F , а массу точки m , получаем
F=ma (5.1)
Из кинематики точки известно, что ускорение a выражается через радиус-вектор (рис. 5.2):
a=d2r/dt2
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
md2r/dt2=F (5.2)
Если спроектировать обе части уравнений (5.1) или (5.2) на координатные оси, то получим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.
В декартовой системе координат в общем случае
max=Fx; may=Fy; maz=Fz.
Рис. 5.28
Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:
ax=dvx/dt=d2x/dt2; ay=dvy/dt=d2y/dt2; az=dvz/dt=d2z/dt2.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:
md2x/dt2=Fx; md2y/dt2=Fy; md2z/dt2=Fz. (5.3)
5.3.Две основные задачи динамики точки
Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки можно решать две основные задачи динамики точки.
Первая задача. Зная массу точки и ее закон движения можно найти действующую на точку силу. Если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат
x=f1(t); y=f2(t); z=f3(t),
то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки:
Fx=md2x/dt2=md2f1/dt2; Fy=md2y/dt2=md2f2/dt2; Fz=md2z/dt2=md2f3/dt2.
Зная проекции силы на координатные оси, легко определить величину силы и косинусы углов силы с осями координат.
Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси, могут зависеть от времени, от координат движущейся точки и ее скорости. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:
md2x/dt2=Fx(t; x, y, z; x’, y’, z’); md2y/dt2=Fy(t; x, y, z; x’, y’, z’); md2z/dt2=Fz(t; x, y, z; x’, y’, z’).
Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных C1, C2, C3, C4, C5, C6.
Каждая из координат x, y, z движущейся точки после интегрирования системы уравнений (5.3) зависит от времени t и всех шести произвольных постоянных:
x=f1(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ), y=f2(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ), (5.4) z=f3(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ).
Если продифференцировать уравнения (5.4) по времени, то определяются проекции скорости точки на координатные оси:
vx =x’=f1’(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), vy =y’=f2’(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), (5.5) vz =z’=f3’(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6).
Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения материальной точки, а выделяет целый класс движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными. Действующая сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и положение точки на траектории могут зависеть еще от скорости, которая сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки.
Для выделения конкретного вида движения материальной точки надо задать дополнительно условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий обычно задают так называемые начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 (рис. 5.3) задают координаты движущейся точки x0, y0, z0 и проекции ее скорости v0x, v0y, v0z.
x=x0, y=y0, z=z0, x’=v0x, y’=v0y, z’=v0z. (5.6)
Используя эти начальные условия и формулы (5.4) и (5.5), получаем шесть следующих уравнений для определения шести произвольных постоянных:
x0=f1(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6); y0=f2(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6); z0=f3(0, C1, C2, C3, C4, C5, C6); (5.7) v0x=f1’(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6); v0y=f2’(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6); v0z=f3’(0; C1, C2, C3, C4, C5, C6).
Рис. 5.29
Если система уравнений (5.7) удовлетворяет условиям разрешимости, то из нее можно определить все шесть произвольных постоянных.
Начальные условия в форме (5.6) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (5.3) при соблюдении соответствующих условий теории дифференциальных уравнений.