- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3. Показательная функция и логарифм
Показательная функция определяется для любого комплексного соотношением
(21)
Из этого определения вытекают следующие свойства :
1. Для действительных чисел получаем показательную функцию действительного переменного .
2. Функция всюду аналитична и ее производная вычисляется по формуле
.
Выполнение условий Даламбера-Эйлера проверяется элементарно. Используя факт независимости производной от направления, по которому происходит стремление текущей точки к предельной, возьмем производную по направлению, параллельному оси Оx:
.
3. Сохраняется основное свойство показательной функции (в области действительного переменного), выражаемое теоремой сложения
4. Показательная функция не обращается в нуль ни при каких значениях показателя, так как
.
Полагая в (21) , , получим формулу Эйлера:
(23)
С помощью формулы Эйлера любое комплексное число можно записать в показательной форме
(24)
5. Показательная функция является периодической с периодом , так как . В силу свойства периодичности изучение функции сводится к изучению ее свойств в полосе шириной и параллельной оси Оx, например в полосе /вообще говоря, в одной из полос /.
Действительно, силу периодичности. Отсюда, .
Значит отображение, определяемое функцией , однолистно в указанных полосах.
Введем в плоскости W полярные координаты . Тогда по формуле Эйлера. Из (21)
Отсюда следует, что прямые , (в плоскости z ) отображаются в окружности радиуса и лучи соответственно, рис. 10
y0=φ
2π
x
y
G
F(X= -∞)
D
E
C
B
A
0
E’
B’
D’
A’
F’
G’
v
0’o’
C’
Рис. 10.
При этом ось Оx ( ) и прямая преобразуются в лучи и . Чтобы соблюсти взаимную однозначность отображения, на плоскости w производим разрез по полуоси и . Тогда Оx переходит в верхний берег разреза, а - в нижний берег.
Таким образом, функция отображает каждую горизонтальную полосу плоскости z шириной на плоскость с разрезом по полуоси . Вся плоскость Z при этом отображается в бесконечнолистную плоскость w .
Логарифмическая функция определяется как функция, обратная к показательной; число W называется логарифмом числа z, если и обозначается .
Из определения логарифмической функции и свойств показательной функции получим основные свойства логарифмов от комплексных чисел.
I.Пусть
(25)
(25) - есть обобщение известного из элементарной математики свойства логарифма.
2. Пусть . Тогда по формуле (25)
В этой формуле, так как - действительное положительное число, в первом слагаемом использовано обычное обозначение натурального логарифма.
Как известно - бесконечнозначная функция, поэтому любое комплексное число имеет бесконечное множество значений логарифма:
(26)
В этой формуле - главное значение аргумента комплексного числа.
Условимся через обозначать главное значение бесконечнозначной функции соответствующее :
,
Значение зависит от того, какое значение выбрано для
Рис.11.
аргумента комплексного числа.
Рассмотрим в плоскости Z две кривые C и L , рис. 11.
y
x
Ĺ
A
Z0
C
W=Lnz
Z
x
y
W
Č1
Č
w0
Ļ
Пусть точка пробегает кривую С от начального положения . Выберем для значений аргументов точек главные их значения. При возвращении в точку значение аргумента, которое менялось от точки к точке при прохождении кривой С , останется прежним - .
Соответствующая точка в плоскости w также опишет замкнутую кривую Ć и вернется в прежнюю точку .
При выборе в качестве аргументов z значений точки в плоскости W будут описывать кривые , которые получаются из смещением на по оси . Таких кривых будет бесконечно много. Они дадут бесконечно много отделенных друг от друга ветвей функции .
Если кривая L в, плоскости Z содержит внутри своего контура точку , то при каждом обходе по замкнутому контуру L аргументы соответствующих точек z возрастают на , поскольку радиус-вектор поворачивается на угол при возвращении в точку z. Следовательно, соответствующая точка будет описывать незамкнутую кривую , ибо у функции
мнимая часть изменится на при каждом возвращении точки z в прежнее положение .
В этом случае говорят, что ветви функции отделить нельзя: они непрерывно переходят одна в другую. Таким образом, если область не содержит кривых, обходящих начало координат , ветви отделяются и каждая из них осуществляет взаимно-однозначное отображение области D.
Следовательно, по теореме о производной обратной функции
(27)
3.4. Тригонометрические и гиперболические функции
По формуле Эйлера (23) имеем
(28).
Формулы (28) дают выражение тригонометрических функций действительного переменного через показательную функцию.
Примем по определению для любого комплексного числа z
(29)
Определенные функции и являются линейными комбинациями показательных функций переменного , поэтому свойства тригонометрических функций, в основном, обусловлены свойствами показательной функции.
1. Для действительных и совпадают с соответствующими функциями и .
2. sinz и cosz всюду аналитичны, так как всюду аналитична показательная функция.
3. sinz и подчиняются обычным (из анализа действительной переменной) формулам дифференцирования:
(30
4. и периодичны с периодом . Вследствие периодичности показательной функции
.
Аналогично .
С помощью несложных выкладок можно убедиться, что выполняются обычные тригонометрические тождества
и т.д.
Поскольку периодом функций и является действительное число , областями однолистности соответствующих отображений будут вертикальные полосы , так как, например,
5. Тригонометрические функции в комплексной плоскости обладают новым, по сравнению с теми же функциями действительного переменного, свойством: их модули бесконечно возрастают при стремлении вдоль оси Оy, т.е. при .
Действительно
Отсюда видно, что является периодической по x функцией (при фиксированном y ) и .
Гиперболические функции комплексного переменного и - определяются по аналогии с соответствующими функциями действительного переменного:
(31)
Эти функции в силу определения выражаются через тригонометрические по формулам
(32)
Гиперболические функции вместе с показательной являются периодическими, , и всюду аналитическими:
.
Функции тангенса и котангенса определяются обычными формулами:
.