Упражнения

1. Доказать справедливость соотношений, заданных в уп­ражнении 4 пункта 1.3.

2*. Пусть даны множества А, В, С, причем С В. Дока­зать, что

а) A C A B; б) A C A B; в) A\_B A_\C;

г) C\ A B_\ A д) \ A _\ A_.

3*. Доказать эквивалентность приведенных ниже утвер­ждений, т.е. что из каждого следует другое:

A B=U; B; = .

1.5. Векторы, прямые произведения, проекции векторов

Для описания свойств элементов множества удобны век­торные представления. Пусть нас интересуют свойства (значения, состояния, признаки, атрибуты и т. п.) элементов v множества V по п фиксированным характеристикам (парамет­рам), А₁,А₂, ... ,А_п; при этом каждая характеристика A_i (i = 1,2, ..., n) представлена множеством из т_i= | A_i| допустимых значений а_i А_i [см. поясняющий пример 1]. В таком случае каждый элемент v множества V может быть задан упорядо­ченным набором значений а₁,а₂, ..., а_п по интересуемым ха­рактеристикам А₁,А₂, ..., А_п так что a₁ А₁, а₂ А₂, ..., a_{n An}; обозначение: v = (a₁, а₂, ..., а_n).

Основные понятия векторных представлений:

Вектор v - упорядоченный набор элементов

v = (a₁,a₂,..,а_n),

где а₁,a₂,...,а_п - компоненты (координаты) вектора. Число п компонент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора v₁ = (а₁, а₂, ..., а_п) и v₂= (b₁,b₂, …,b_m) равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие ко­ординаты их равны, т.е.

(а₁, а₂, ..., а_п) = (b₁,b₂, …,b_m),

если: 1) n = m; 2) а₁ = b₁, а₂ = b₂, ..., а_п = b_т.

Множество всех возможных (различающихся) векторов (а₁, а₂, ..., а_п) длины n таких, что a, a₁ А₁, а₂ А₂,...,a_{n An}, называют прямым произведением множеств А₁,А₂, ..., А_п. Обозначение прямого произведения: А₁ А₂ ... А_п; пря­мое произведение п одинаковых множеств А, т.е. когда А₁=А₂ =... = А _п= А, обозначают А₁ А₂ ... А_п=Аⁿ.

Мощность прямого произведения множеств А₁,А₂, ..., А_п равна произведению мощностей этих множеств, т.е.

| А₁ А₂ ... А_п | = | A₁ |  | A₂ |  …  | A_n |.

Способы задания прямого произведения множеств А₁ А₂ ... А_п - аналогичны способам задания множеств с той разницей, что требуется задание каждого множества А₁,А₂, ..., А_п прямого произведения.

Операции над множествами векторов (данно­го прямого произведения) - объединение, пересечение, раз­ность, дополнение - аналогичны соответствующим опера­циям над множествами элементов.

Операции над вектором v длины п: v =(а₁, а₂, ..., а_п).

Проекцией вектора v на i-ю ось называется его i-я компонента:

пp_iv = a_i.

Проекцией вектора v на оси с номерами i₁, i ₂, ...,i_k назы­вается вектор длины k:

пp_i1, … , i_ik v =(a_i1, a_i2, ... , a_ik).

Операции над множеством векторов V дли­ны п: v =(а₁, а₂, ..., а_п), v V.

Проекцией множества векторов V на i-ю ось называет­ся множество проекций всех векторов из V на i-ю ось:

пр_i V= {пр_i v: v V}.

Проекцией множества векторов V на оси с номерами i₁, i₂,..., i_k называется множество проекций всех векторов v V на оси с номерами i₁, i₂,..., i_k:

пр i₁,..., i_k V= {пр i₁,..., i_k v: v V}.

В частности, если V= А₁ А₂ ... А_п, то

пр i₁,..., i_k V= А₁ А₂ ... А_п.

Операции над упорядоченным множеством векторов V длины

п: V=(v₁, v₂, ..., v_п), v=(а₁, а₂, ..., а_п)

Проекцией упорядоченного множества векторов V на i-ю ось называется упорядоченное множество проекций век­торов на эту ось:

пр_i V=( пр_i v₁, пр_i v₂, … , пр_i v_n)

Проекцией упорядоченного множества векторов Vна оси с номерами i₁, i₂,..., i_k: называется упорядоченное множество проекций всех векторов v V на оси с номерами i₁, i₂,..., i_k:

пр i₁,..., i_k V= {пр i₁,..., i_k v₁, пр i₁,..., i_k v₂, … , пр i₁,..., i_k v_n}.

Кроме того, над векторами v одинаковой длины п возмож­но выполнение различных операций сравнения, задаваемых теми или иными правилами сравнения векторов, например следующим.

Правило 1 сравнения векторов по предпочтению:

Пусть V - множество векторов длины п, компонентами которых являются числа. Вектор а =(а₁, а₂, ..., а_п) не менее предпочтителен, чем вектор b =(b₁, b₂, ..., b_п) (обозначение а b), если компоненты вектора а не меньше соответствую­щих компонент вектора b, т.е.:

а b если a₁ b_l, a₂ b₂, ..., а_n b_n.

Пример 1. Пусть при предварительном отборе претенден­тов на вакантную должность кадровую службу организации интересуют следующие их характеристики:

А₁ - пол; А₁ = {женск., мужск.};

А₂ - возраст (лет); А₂= {18, 19, ...,35};

А₃ - образование; А₃ = {среднее, незаконченное высшее, высшее};

А₄ - общий стаж работы (лет); A₄ = {0, 1 , 2, ,.., 1 5, более 15};

А₅ - стаж работы менеджером (лет); А₅ = {0, 1, 2, ..., 10,

более 10};

А₆ - знание английского языка; А₆ = {не владеет, со словарем, свободно};

А₇ - владение компьютером; А₇ = {компьютер, нет};

А₈ - семейное положение; A₈ = {холост (не замужем), же­нат (замужем)}.

Опишите векторно двух претендентов:

а) Иванова 23 лет, окончившего МИФИ, владеющего анг­лийским со словарем, однако не имеющего стажа работы по специальности менеджера, неженатого;

б) Петрова 27 лет, окончившего Международный универ­ситет 3 года назад и проработавшего далее менеджером в коммерческой фирме, свободно владеющего двумя иностран­ными языками, в том числе, английским, женатого.

Определите проекции полученных векторов на оси с но­мерами: 2, 5, 6, 7.

 При указанной последовательности характеристик векторные описания претендентов:

а = (мужск, 23, высшее, 5, 0, со словарем, компьютер, неженат),

б = (мужск., 27, высшее, 7, 3, свободно, компьютер, женат).

Проекции полученных векторов на оси (характеристики) с номерами 2, 5, 6, 7:

пр_{2 5 6 7} а - (23, 0, со словарем, компьютер),

пр₂₅₆₇ б = (27, 3, свободно, компьютер).

Пример 2. Пусть V= {(a, b, d), (с, b, d), (d, b,b)}. Чему равны проекции V на первую ось, на вторую, а также на вторую и тре­тью? Чему равны проекции V на эти оси, если V - упорядочен­ное (указанным выше образом) множество векторов V?

• Проекции множества векторов V:

пp₁V = {а,с,d}; пp₂V = {b}; пp₂₃V = {(b,d), (b,b)}.

Проекции упорядоченного множества векторов V=((a,b,d), (c,b,d),(d,b,b}}:

Пp₁V =(a,c,d); пp₂V =(b,b,b), пp₂₃V =((b,d),(b,d),(b,b)).

Пример 3. Пусть V = {(a,b), (b,c,d), (c,a,d)}. Чему равна проекция пр₁V?

 Проекция пр₁V не может быть определена, так как за­дано множество V векторов разной длины.

Пример 4. Пусть Х= {0,1}, Y= {a,b}. Найти X Y, Y X, X², X Y X.

 X Y {(0,а), (0,b), (1,а), (1,b)}.

Y X {(а,0), (a,1), (b,0), (b,1)}.

Таким образом, X Y Y X.

Х² = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.

Х Y X= {(0,а,0), (0,а,1), (0,b,0), (0,b,1), (1,а,0), (1,а,1), (1,b,0), (1,b,1)}.

Пример 5. Проиллюстрировать на конкретном примере утверждение: если A Х и В Y, то А В Х Y.

 Пусть A = {a}, X = {a,b}, т.е. A X, и

В = {1, 2, }, Y = {1, 2, 3}, т.е. В Y. Тогда:

А В = {(а,1), (а,2)};

Х Y= {(а,1), (а,2), (а,3), (b,1), (b,2), (b,3)} =

= {(а,1), (а,2)} {(а,3), (b,1), (b,2), (b,3)} =

= [A B] {(а,3), (b,1), (b,2), (b,3)} =Х Y.

Таким образом, А В X Y.

Пример 6. Пусть А - алфавит, т.е. конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, зна­ки препинания, знаки операций и т.д.). Словом длины п в ал­фавите А (обозначается последовательностью из и симво­лов без скобок и запятых) называют любой элемент множе­ства Аⁿ. В этом определении слово представлено как вектор. Множество всех слов в алфавите А - это множество А*:

A* = A^l A² A³ ...

Пусть теперь алфавит А состоит из трех символов, напри­мер:

А = {а,b,с}. Определить множество всех слов длины 1, 2, 3,4 в алфавите А.

 • Множество всех слов длины 1 в алфавите А = {а,b,с} — это множество всех слов из одной буквы алфавита А:

A^l = {a,b,c}, | А¹ | = 3.

• Множество всех слов длины 2 в алфавите А - множе­ство всех возможных двухбуквенных слов в алфавите А:

А² = А А = {аа, ab,ас, bа, bb, bс, са, сb, сс}, | А² | = 9 = 3².

• Множество всех слов длины 3:

А ³ = А А А= {ааа, aab, aac, aba, ...,.ссс}, | А³ | = 27 = 3³.

• Множество всех слов длины 4:

А ⁴ = А А А А = {аааа,aaab, aaac,aaba,...,сссс}, | А⁴ | = 81= 3⁴.

Очевидно, что мощность множества всех слов длины n в ал­фавите А равна мощности алфавита в степени п, т.е. |Аⁿ | = |А|ⁿ.

Пример 7. Пусть при сравнении пяти вариантов решений а, b, с, d, c по четырем характеристикам-критериям X, Y, Z, U получены следующие векторные оценки каждого варианта:

V = {(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2),

(2,3,2,2)}.

Используя правило 1 сравнения векторов по предпочте­нию, определить наилучшие векторные оценки и соответствующие им варианты решений.

 В соответствии с правилом 1 выполним попарное срав­нение векторных оценок из V. При сравнении первой век­торной оценки со второй последняя оказывается не менее предпочтительной, а именно;

(2,3,1,2) (3,3,1,2).

Поэтому дальнейшее сравнение первой векторной оцен­ки со всеми другими можно не выполнять и далее ее не рас­сматривать. Оставшиеся векторные оценки:

V ’ = {(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1,2), (2, 3, 2, 2)}.

В полученном списке V ‘ векторных оценок первая срав­нима по правилу 1 только с третьей этого списка:

(3,3,1,2) (3,2,1,2).

Это позволяет отбросить третью векторную оценку в V ‘ как менее предпочтительную. Новый список векторных оце­нок:

V ” = {(3, 3,1,2), (2,2,2,2), (2, 3,2,2)}.

В новом списке V ” сравнимыми по правилу 1 оказыва­ются только последние две оценки:

(2,2,2,2) (2,3,2,2).

Оставшиеся две векторные оценки

V ’’’ = {(3,3, 1,2), (2,3,2,2)}

несравнимы по правилу 1, т.е. никакой из них нельзя отдать предпочтение по данному правилу. Поэтому их следует при­знать лучшими среди векторных оценок исходного списка V. Таким образом, наилучшими по правилу 1 сравнения век­торов по предпочтению оказались вторая и последняя век­торные оценки исходного списка V, и соответствующие им варианты решений {b, е} следует также признать наилуч­шими с учетом оценок, полученных ими по критериям X,Y,Z,U.

Заметим, что полученное с использованием правила 1 мно­жество М_П = {b,е} наилучших и несравнимых вариантов решений называют в теории принятия решений областью компромиссов, или множеством парето-оптималъных ре­шений.