5.2. Дискретные двумерные случайные величины

Определение 5.3. Двумерную случайную величину (X,Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.

Так же как и в одномерном случае, распределение двумерной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар значений координат случайного вектора (X, Y) и соответствующих вероятностей, с которыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y (для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина X может принимать только значения , Y — значе­ния , а координаты двумерного случайного вектора (X, Y) — пары значений , . Такое пере­числение удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1). В этой таблице в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины Y, а в левом столбце — значения случайной величины X. На пересечении столбца со строкой находится вероятность

Таблица 5.1

xX	Y
	y1	y2	……	yn-1	yn
x1	p11	p12		p1n-1	p1n
x2	p21	p22		p2n-1	p2n
…			…		…
xm-1	pm-11	pm-12		pm-1n-1	p11
xm	pm1	pm2		pmn-1	ppmn p

совместного осуществления событий .

В этой таблице обычно добавляют еще одну строку " " и столбец " ".

На пересечении столбца " " со строкой " " записывают число

.

Но представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значение , т.е.

.

Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины X.

Аналогично, в последней строке " " помещены значения

,

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y. Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.

Используя таблицу 5.1, нетрудно определить совместную функцию распределения . Ясно, что для этого необходимо просуммировать по всем тем значениям i и j, для которых , т.е.

.

5.3. Непрерывные случайные величины

Определение 5.4. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой

можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:

.

Функцию

называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y). Область интегрирования в двойном интеграле представляет собой квадрант с вершиной в точке . Как известно, двойной интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке, следовательно,

.

Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что р непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную совместной функции распределения:

. (5.1)

Заметим, что аналогичный смысл имеет совместная (n-мерная) плотность распределения случайных величин или плотность распределения случайного вектора ( ):

.

Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотности распределения.

Теорема 5.2. Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами.

1. .

2. .

3. .

4. 

5. 

6. .

7. .

8. .