2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
Согласно оценке ученых-математиков, 75 всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, так как математические модели тех или иных явлений или процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым посредством дискретизации и/или линеаризации. Поэтому выбор эффективного метода решения СЛАУ приобретает весьма большое значение. Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а соответствующее программное обеспечение компьютеров – разнообразными пакетами прикладных программ, позволяющими решать многие встречающиеся на практике линейные системы. Чтобы ориентироваться в этом море методов и программ и тем самым уметь делать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построения методов и алгоритмов, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.
Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Метод решения называется прямым, если за конечное число арифметических операций с точными числами можно получить точное решение системы уравнений. В связи с этим к классу прямых методов применяют еще название точные методы. Отметим, хотя машинным вычислениям свойственны ошибки округления из-за ограниченности разрядной сетки, эти методы – не настолько идеализированные алгоритмы, что их нельзя реализовать на компьютере. Для систем линейных уравнений с матрицей и вектором правых частей, состоящих из рациональных чисел, можно с помощью прямых методов, используя арифметику целых чисел, находить точные решения.
Итерационным называют метод, в котором точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий. Итерационным методом, вообще говоря, нельзя найти точное решение за конечное число итераций даже при отсутствии вычислительной погрешности.
В дальнейшем будем рассматривать СЛАУ, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных неизвестных, т.е. системы с квадратной матрицей, причем будем предполагать наличие единственного решения (если не оговаривается иначе).
Итак, изучается вопрос о численном решении систем вида
(2.1)
или иначе, векторно-матричных уравнений
Ax = b,
где
–
вектор правых частей или свободных
членов,
– вектор
неизвестных или вектор-решение с
вещественными компонентами,
A={aij;
i, j
= 1,
2, …, n}
– вещественная nn-матрица
коэффициентов данной системы. Для
существования и единственности решения
этой системы следует потребовать detA0.
Эффективность методов решения системы
(2.1) во многом зависит от структуры и
свойств матрицы: размерности,
обусловленности, симметричности,
заполненности (т.е. соотношения между
числом ненулевых и нулевых элементов)
и др.
Рассмотрим некоторые способы решения систем линейных уравнений в пакете Maple. Следует отметить, что данный пакет располагает достаточно надежными, но не всегда гибкими, встроенными средствами по решению таких систем. Поэтому для лучшего понимания проблемы помимо этих встроенных ресурсов приводятся алгоритмы и программы, непосредственно реализующие тот или иной метод.