10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Если общее уравнение кривой второго порядка вида:

a₁₁x²+a₂₂y² +2a₁x+ 2a₂y+a₀=0 , т.е. не содержит члены с произведением xy ( a₁₂=0 ), то следует выделить полные квадраты по x и по y :

a₁₁(x²+2a₁x/a₁₁)+a₂₂(y²+2a₂y/a₂₂)+a₀=0,

a₁₁(x²+2a₁x/a₁₁)+a₂₂(y²+2a₂y/a₂₂)+a₀=0,

a₁₁(x²+2a₁x/a₁₁+(a₁/a₁₁₎²)+a₂₂(y²+2a₂y/a₂₂+(a₂/a₂₂)²)-

-(a₁/a₁₁₎²-(a₂/a₂₂)²+a₀=0

или

a₁₁(x+a₁/a₁₁)²+a₂₂(y+a₂/a₂₂)²=(a₂/a₂₂)²)+(a₁/a₁₁₎²-(a₂/a₂₂)²-a₀,

и сделать замену переменных (параллельный перенос)

, . Получим ,

где k=(a₂/a₂₂)²)+(a₁/a₁₁₎²-(a₂/a₂₂)²-a₀ или

– канонический вид кривой второго порядка.

11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.

Уравнения кривых второго порядка

Пусть общее уравнение кривой второго порядка

a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0

приведем к каноническому виду: , где , - собственные значения матрицы S . Вычисляем

1. если >0, то кривая эллиптического типа;

2. если <0 , то кривая гиперболического типа;

3. если =0, то кривая параболического типа.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

Пример . Дано: K(x,y)= 2x²+2y²-2xy-2x-2y+1=0.

Решение. Имеем a₁₁=2, a₂₂=2, a₁₂=a₂₁=-1; a₁=-1, a₂=-1, a₀=1 . Тогда матрица старших членов .

Составляем характеристическое уравнение

, или _. Корни и – собственные значения матрицы S. Так как , и то данная кривая эллиптического типа.

Находим соответствующие им собственные векторы

и .

Для : , или , , .

Пусть c₁=1. Тогда . Нормируем , , где ; получаем .

Для : или , , .

Пусть с₂=1. Тогда . Нормируем , , где ; получаем , причем . Орты собственных векторов и образуют базис в новой системе координат x^/,y^/. Имеем матрицу Т линейного преобразования координат

Отсюда получаем формулы преобразования координат

, , или

, .

Подставляем в уравнения кривой найденные выражения для x и y: После раскрытия скобок и приведения подобных получаем (x^/)²+3(y^/)²-2 x^/+1=0, или (x^/)²-2 x^/+3(y^/)²+1=0.

Выделив, полный квадрат имеем: (x^/- )²+3y^/+1=0.

Пусть x^//=x^/- , y^//=y^/- параллельный перенос координатных осей. Тогда (x^//)²+3( y^//)²=1,или (x^//)²+( y^//)²/3=1-каноническое уравнение эллипса в координатах x^//, y^//, где a =1– большая, b= = 0,577 – малая полуоси эллипса (рис.11.1) .

Рис. 11.1

Поверхности второго порядка. Канонические формы

уравнений. Исследование поверхностей второго порядка

методом сечений

Определение. Поверхностью S второго порядка будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоуголь­ные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида

в котором, один из коэффициентов

отличен от нуля. Уравнение (*) называется общим уравнением поверхно­сти 2-го порядка.

Очевидно, что поверхность второго порядка как геометри­ческий объект не меняется, если от данной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат.

С помощью линейного ортогонального преобразования ко­ординат (или параллельного переноса и поворота осей) уравне­ние вида (*) можно привести к виду

Поверхность S второго порядка называется центральной, если уравнение центра поверхности имеет единственное решение

точка О₁ (х₀, у₀, z₀) называется центром поверхности 2-го порядка. Для упрощения будем рассматривать уравнение вида

Классификация центральных поверхностей

второго порядка

1°. Если коэффициенты а₁₁, а₂₂, а₃₃ одного знака,

а коэффициент а₄₄ 0, то в этом случае поверхность S

называ­ется эллипсоидом. Если знак коэффициентов а_11,а₂₂, а₃₃ противополо­жен знаку коэффициента а₄₄, то поверхность

называется ве­щественным эллипсоидом, в противном случае - мнимым эллипсоидом.

В дальнейшем термином эллипсоид мы будем называть

лишь вещественный эллипсоид.

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

Из уравнения следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коор­динат - центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и пред­ставляют собой длины отрезков от начала до точек пересече­ния эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность.

Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением z = h, a линия, которая

Отсюда следует, что при h < с плоскость z = h пере­секает эллипсоид по эллипсу с полуосями

Аналогичнаякартина имеет место при рассмотрении се­чений эллипсоида плоскостями, параллельными координат­ным плоскостям Oxz и Oyz. Сама плоскость Oxz (у =0)

пересекает эллипсоид по эллипсу

а плоскость Oyz (x = 0) по эллипсу

В случае a=b=c, эллипсоид является сферой.

Рис. 11.2

2°. Если из четырех коэффициентов а_11,а₂₂, о₃₃, а₄₄ два одного знака, а два других - противоположного, поверхность S называют однополостным гиперболоидом.

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида:

Из уравнения вытекает, что координаты плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат - цен­тром симметрии однополостного гиперболоида.

Рассмотрим его сечение координатной плоскостью Oxz

Это сечение представляет собой гиперболу, расположен­ную симметрично относительно координатных осей Ох и Oz и пересекает ось Oz в точках (а, 0, 0), (- а,0, 0).

Сечение плоскостью Oyz есть гипербола симметричная относительно осей Оу, Oz с точками на оси Oy (0, b, 0), (0, - b, 0).

Рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху:

Отсюда видно, что любая плоскость z = h пересекает

гиперболоид по эллипсу Самых малых размеров эл­липс получается в сечении плоскостью z=0 (Oxy) он называется горловым эл­липсом.

Однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горлового клапана.

Рис. 11.3

Величины а, b, с называют ПОЛУОСЯМИ ОДНОПОЛОСТНОГО гиперболоида. В случае а = b уравнение (2') определяет окружность с центром на оси Оx. В этом случае однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей.

3°. Знак одного из первых трех коэффициентов а_11, а₂₂, а₃₃,а₄₄ противоположен знаку остальных коэффициен­тов. В этом случае поверхность S называется двухполостным гиперболоидом.

Пусть для определенности а₁₁>0, а₂₂ > 0, а₃₃ < 0, а₄₄ >0. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида имеет вид:

Его сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями

Это гипербола, симметричная относительно осей Ох и Oz и пересекающая ось Oz в точках (0,0,c)и(0,0,-с).

Сечение плоскостью Oyz представляет собой

гиперболу, симметричную относительно Оу и Oz и пере­секающую Oz в точках (0,0,с) и (0,0, - с).

Сечения данного гиперболоида плоскостями, параллель­ными координатной плоскости Оху

при условии, что представляет эллипс с полуосями:

Двухполостный гиперболоид -это поверхность, состоящая из двух отдельных «полостей». Каждая из них имеет вид бесконечной выпук­лой чаши.

Величины а,b,с называются полу­осями двухполостного гиперболоида.

При а=b двухполостный гипер­болоид модно рассматривать как по­верхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей .

Рис. 11.4

4°. Коэффициент a₄₄ = 0. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка. Если коэффициенты а_11, а₂₂, а₃₃ одного знака, то ле­вая часть обращается в нуль лишь для х = у = z = 0, то есть уравнению поверхности удовлетворяет одна точка.

В этом случае поверхность называется мнимым кону­сом.

Если коэффициенты а_11, а₂₂, а₃₃ имеют разные знаки, то

поверхность S называется вещественным конусом второго порядка. Каноническое уравнение его имеет вид:

Геометрической особенностью этой поверхности являет­ся то, что, если некоторая точка М (отличная от начала коор­динат) лежит на этой поверхности, то все точки прямой, кото­рая проходит через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Рис. 11.5

Эта геометрическая особенность вытекает из того, что уравнение однородно, т.е. все его члены имеют одну и туже степень, равную 2. Иначе говоря, поверхность, определяемая однородным урав­нением, состоит из прямых проходящих через начало координат. Такая поверхность называется конической или просто конусом. Прямые, из которых составлен конус, называются образующими. Точка, через которую они все проходят, назы­вается вершиной конуса.

Рассмотрим сечение плоскостыс

Плоскости z = h в сечении тоже дают эллипс. Это эллипс с полуосями a и b расположенный симмет­рично относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

Если а =b, то эллипс превращается в окружность и конус называется круглым.

Нецентральные поверхности второго порядка

1°. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид:

Плоскости Oxz и Oyz являются для него плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью эллиптического парабо­лоида. Из уравнения следует, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве z О. Линии пересечения представляют собой эллипсы

При увеличении h эллипсы бесконечно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу. Плоскость х = h пересекает эллиптический параболоид по

параболе которая получается таким параллельным переносом параболы при котором ее вершина O(0,0,0) переходит в точку (h,0,z=h²/a²).

Рис. 11.6 Рис. 11.7

2°. Гиперболический параболоид. Каноническое уравне­ние имеет вид: . Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического параболоида. Он имеет форму седла. Точка О называется вершиной гипербо­лического параболоида.

Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = h при h > О представляют собой гиперболы:

При h < О - линии пересечения сопряженных гипербол. Плоскость z = 0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым ( асимптотам гипербол) , плоскость y= h пересекает гиперболический пара­болоид по параболе,

которая получается параллельным переносом параболы.

Цилиндры второго порядка

Рассмотрим цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oz.

В зависимости от характера сечения рассматриваемого цилиндра с плоскостью Оку различают цилиндры следующих типов:

1. Эллиптический цилиндр-каноническое уравнение:

Направляющей является эллипс (рис.11.8).

Рис. 11.8

Если а =b, то цилиндр называется круговым.

2.Параболический цилиндр (рис.11.9). Направ­яющей является парабола.

Рис. 11.9

3.Гиперболический цилиндр (рис.11.10). Направляющей является гипербола

Рис. 11.10

Пример. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением .

Решение.

1) В сечении поверхности плоскостью имеем две параллельные прямые .

2) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

3) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых при-ближаются к оси при увеличении .

_{4) В сечении поверхности плоскостью} имеем две параллельные прямые

5) В сечении поверхности плоскостями y=y₀>0 имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

6) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

7) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство гипербол при и при (сопряженные гиперболы). В случае получается . Замечаем симметричность сечений поверхности относительно прямой . Поэтому дальнейшее исследование проводим с учетом этого обстоятельства.

Рис. 11.11

8) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство гипербол при и при (сопряженные гиперболы). В случае получаем две пересекающиеся прямые .

9) Сечения поверхности плоскостями имеют проекции на плоскость , описываемые уравнениями , т.е. эллипсы, у которых полуоси увеличиваются с увеличением . Отношение полуосей этих эллипсов равно , а плоскости составляют угол 45º с плоскостью , поэтому сами сечения имеют форму окружностей.

Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изобразить заданную поверхность (рис. 11.11). Этой поверхностью является однополостный гиперболоид, ось которого – прямая .