§ 3. Атом водорода. Пространственное квантование

По закону Кулона потенциальная энергия электрона в поле протона равна

где r - расстояние между ядром и электроном.

Картина поля симметрична во всех 3^х направлениях осей (уже не плоская, а трехмерная задача).

Решение уравнения Шредингера довольно сложно, приведем лишь выводы из решения:

Появляются не 1, а 3 квантованных числа, т.к. задача трехмерная. Обозначим их n, l и m_l.

n – главное квантовое число – любое целое положительное значение;

l – азимутальное (орбитальное) квантовое число – от 0 до n – 1 – целые числа;

m_l – магнитное квантовое число – от – l до l (целые числа включая ноль).

Все эти 3 квантовых числа – следствие решения уравнения Шредингера для трехмерной задачи и граничных условий, налагаемых на ψ.

n = 1 l = 0 m_l = 0

n = 2 l = 0, 1 m_l = -1, 0, 1

n = 3 l = 0, 1, 2 m_l = -2, -1, 0, 1, 2

Состояние атома характеризуется всеми 3^мя квантовыми числами.

Если l = 0, то состояние атома называется s - состоянием;

l = 1 – р - состоянием;

l = 2 – d - состоянием;

l = 3 – f - состоянием;

В атоме водорода энергии, соответствующие различным квантовым состояниям, определяются в основном квантовым числом n.

Учет остальных квантовых чисел приводит лишь к незначительным поправкам к энергии (не более 0,001%).

Рис. 4 – уровни энергии электрона в атоме водорода по формуле (*).

Для каждого набора квантовых чисел свой вид ψ в пространстве.

Две наиболее простые функции:

n = 1, l = 0, m_l = 0

n = 2, l = 0, m_l = 0

где Å

r - расстояние от центра ядра.

Рис. 5: Состояние 1s – (1 – главное квантовое число n; s – т.е. l = 0) – ψ сферически симметрична.

Вероятность нахождения электрона в элементе объема на расстоянии от r до r + dr для сферически симметричных ψ-функций, т.е. для функций у которых l = m_l = 0 (s – состояния) определяется формулой . Т.к. объем dV растет с ростом r по закону r², то для сравнения вероятностей нахождения электрона на расстоянии r от ядра надо строить функцию .

Рис. 5 – для 1s состояния: резкой границы атома нет, но вероятность того, что электрон окажется на расстоянии, большем ρ быстро спадает.

Д ля состояния 2s (n = 2, l = 0) – рис. 6

Электрон почти в 4 раза дальше от ядра, чем для 1s, и энергия его при этом (по формуле для E_n) тоже в 4 раза меньше по абсолютному значению. Т.е. больше!

Волновые функции состояний 2р (n = 2, l = 1, m_l = 0, ±1) нельзя изобразить в 2^х измерениях, т.к. они зависят в сферических координатах от θ и φ.

Геометрическое место точек максимальных значений функции в каждом сечении уже не окружности, а эллипсы или другие фигуры, определенным образом ориентированные в пространстве.

Функции для состояний n = 3 имеют много большую радиальную протяженность, чем для n = 1. При l = 0 они сферически симметричны.

Более детальное изучение спектров атомов показало, что их энергетические состояния не могут быть охарактеризованы лишь 3^мя квантовыми числами.

И действительно, в 1925 г. Гаудсмит и Уленбек показали наличие 4^го квантового числа.

Они доказали (в тех представлениях), что электрон может вращаться вокруг собственной оси (как земля) и обладать некоторым механическим (момент количества движения) и магнитным моментами.

Механический момент получил название «спин». [Spin - кручение]. Этот момент может быть двояко ориентирован относительно плоскости вращения электрона вокруг протона, и квантовое число, характеризующее эти две возможные ориентации, имеет тоже два значения.

Величина момента количества движения (МКД) электрона вокруг собственной оси:

Спиновое квантовое число в зависимости от ориентации МКД относительно плоскости орбиты принимает одно из двух значений

Итак – 4 квантовых числа n, l, m_l, m_s, полностью характеризуют состояние электрона в атоме.

Из уравнения Шредингера можно определить условия перехода атома из одного квантового состояния в другое. Оказалось, что при этих переходах должны соблюдаться так называемые «правила отбора»:

Разрешены только такие переходы из состояния n, l, m_l, m_s в состояние n', l', m_l', m_s', для которых

u – одна из координат x, y или z. Интеграл берется по всему пространству.

Подставляя сюда значения ψ и ψ* для каждого набора квантовых чисел, можно определить, из каких квантовых состояний в какие квантовые состояния разрешен переход.

Если для них ∫ ≠ 0, то произойдет переход с поглощением или излучением кванта с частотой ν.

Применение этого правила к различным наборам квантовых чисел показало:

1. Для n не существует правил отбора, т.е. возможен переход из состояния с любым n в состояние с любым другим n.

2. Не разрешены переходы, при которых не меняется l, оно должно меняться на +1 или на -1

∆l = ± 1

Например, переход из 2s состояния в 1s состояние запрещен.

3. При переходе должно выполняться условие

∆m_l = 0 или ± 1

Правила отбора приведены здесь без вывода, но можно их проверить, подставляя в ∫ соответствующие функции ψ и ψ*.

Опытная проверка, наблюдение на опыте спектров излучения, т.е. возможных переходов между квантовыми состояниями, полностью подтверждает правила отбора.