Методы математической физки Меркулов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина)

А. Л. МЕРКУЛОВ В. Л. ТРЕГУБ Н. М. ЧЕРВИНСКАЯ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург 2016

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина)

А. Л. МЕРКУЛОВ В. Л. ТРЕГУБ Н. М. ЧЕРВИНСКАЯ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 2016

УДК 517.958 (075) ББК В311я7

М52

Меркулов А. Л., Трегуб В. Л., Червинская Н. М. Методы M52 математической физики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ

“ЛЭТИ”, 2016. 164 с.

ISBN 978-5-7629-1780-3

Рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Приводится решение задач методом Фурье, методом сеток и некоторыми другими методами. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров. Соответствует рабочим программам дисциплины “Методы математической физики” пятого семестра факультета электроники и шестого семестра открытого факультета.

Предназначено для студентов всех специальностей факультета электроники и специальностей 071400, 200100, 200300 открытого факультета.

УДК 517.958 (075) ББК В311я7

Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГУТ; д-р физ.-мат. наук, проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Введение

Предлагаемое издание является переизданием учебного пособия, напечатанного в 2006 г. Структура пособия осталась прежней. Полностью переписан разд. 4, посвященный уравнениям Лапласа и Пуассона. а также исправлены неточности, допущенные в предыдущем издании. В 2014 г. был выпущен сборник задач [1] тех же авторов, который дополняет это издание.

Цель данного пособия – дать студентам самые необходимые сведения о тех задачах математической физики, с которыми может столкнуться в дальнейшем специалист по электронике. Самостоятельный выбор нужного материала и его изучение ставят перед студентами непреодолимые трудности, в первую очередь потому, что существующие объемистые учебники ориентированы на студентов математических и физических факультетов. В настоящем пособии авторы базируются только на стандартных курсах “Геометрия и алгебра” и “Математический анализ”, читаемых в электротехническом университете. По этой причине ряд утверждений и теорем приводится без доказательства.

Первый раздел пособия посвящен краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом разделе вводятся основные ортогональные системы функций и некоторые специальные функции математической физики.

Вразд. 2–4 рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных различных типов. В качестве основного метода решения выбран метод Фурье, который позволяет получить решения задачи в виде ряда. Кроме того, рассматриваются и некоторые другие аналитические и численные методы.

Пятый раздел пособия знакомит студентов с основными идеями вариационных методов, в которых решение краевых задач сводится к поиску минимума некоторого функционала. Рассматриваются приближенные методы нахождения этого минимума.

Впособии авторы использовали ряд идей из книги Очана [2].

3

1.КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1.1. Постановка краевой задачи

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(x) 0 > 0, p(x) p0 > 0.

Такую форму записи уравнения будем называть симметричной. Преобразуем первое слагаемое в уравнении (1.1):

p(x)y00 p0(x)y0 + q(x)y = f(x)

(x)

и разделим на коэффициент при y00:

Получилось записанное в обычном виде линейное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентами.

Отметим также, что уравнение

y00 + a1(x)y0 + a0(x)y = f(x)

можно записать в симметричной форме, воспользовавшись соотношением

1 R 0 y00 + a1(x)y0 = eR a1(x)dx e a1(x)dxy0 :

Таким образом, для уравнения (1.1) будут справедливы результаты, полученные при изучении дисциплины “Дифференциальные уравнения” [3]. Общее решение уравнения (1.1) имеет вид

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + y~(x);

где y1(x), y2(x) – пара линейно независимых решений однородного уравнения; y~(x) – частное решение неоднородного уравнения; C1, C2 – произвольные постоянные. Функция y(x) определена на всем промежутке [a; b]. Для уравнения (1.1) можно поставить задачу Коши: среди функций, удовлетворяющих этому уравнению, выбрать ту, которая в некоторой точке x0 2 [a; b] удовлетворяет начальным условиям y(x0) = t1, y0(x0) = t2. Тогда можно найти значения констант C1 и C2, при которых решение будет удовлетворять начальным условиям. Это решение всегда существует

4

и оно единственно, т. е. задание начальных условий позволяет выделить из семейства решений линейного уравнения частное решение с заданными свойствами.

Однако для выделения частного решения из общего можно использовать и другие условия. Важным типом таких условий являются краевые или граничные условия, заключающиеся в том, что условия накладывают-

jR2j + jS2j =6 0, R1; R2; S1; S2 0.

Отметим важные частные случаи условий (1.2):

1)y(a) = t1, y(b) = t2 – краевые условия первого рода (условия Дири-

хле);

2)y0(a) = t1, y0(b) = t2 – краевые условия второго рода (условия Ней-

мана);

3) y0(a) S1y(a) = t1, y0(b) + S1y(b) = t2 – краевые условия третьего рода.

К краевым условиям относятся также условия периодичности

y(a) = y(b); y0(a) = y0(b):

Особо выделим случай, когда коэффициенты уравнения (1.1) (x), p(x), p0(x), q(x) непрерывны не на отрезке [a; b], а только на открытом интервале (a; b) или когда функции (x) или p(x) обращаются в нуль в граничной точке. В этом случае решение уравнения может быть не ограничено и в качестве краевого условия выступает требование ограниченности решения при x ! a + 0 или x ! b 0. Условие ограниченности ставится также в случае, когда промежуток, на котором решается уравнение, бесконечен.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым условиям, называется краевой задачей.

Название задачи принято давать по названию краевых условий: задача Дирихле, задача Неймана, третья краевая задача.

Краевые условия называются однородными, если из того, что некоторые функции '1(x), '2(x), ..., 'n(x) удовлетворяют этим условиям, следует, что любая линейная комбинация этих функций C1'1(x) + ::: + Cn'n(x) также удовлетворяет этим условиям.

Однородными краевыми условиями будут:

1)R1y0(a) S1y(a) = 0; R2y0(b) + S2y(b) = 0;

2)y(x) ограничена при x ! a + 0 и при x ! b 0;

3)условия периодичности y(a) = y(b), y0(a) = y0(b).

5

Пример 1.1.

y(x) = C1 cos x + C2 sin x:

Краевые условия дают

(

C1 1 + C2 0 = 0;C1 1 + C2 0 = 1:

Очевидно, что полученная система несовместима и, следовательно, краевая задача решений не имеет.

Пример 1.3.

8

> y00 y = 0;

<

y(0) = 0;

>

:y( ) = 0:

Подставив общее решение y = C1 cos x + C2 sin x в краевые условия, получим

(

C1 1 + C2 0 = 0;C1 1 + C2 0 = 0:

6

Отсюда C1 = 0, C2 – любое число и, следовательно, краевая задача имеет множество решений

y(x) = C2 sin x:

Пример 1.4.

8

> x(xy0)0 + n2y = 0;

<

y ограничена при x ! 0 + 0;

>

:y(1) = 1:

Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения (1.1), видим, что p(x) = = x, (x) = x1. При x, стремящемся к нулю, уравнение вырождается, поэто-

му в качестве краевого условия поставлена ограниченность y при x ! 0+0. Легко проверить, что функции '1(x) = xn и '2(x) = x n удовлетворяют уравнению. Поскольку они линейно независимы, то общее решение

будет иметь вид

y(x) = C1xn + C2x n:

Так как lim x n = +1, а решение должно быть ограничено, коэффи-

циент C2 = 0. Из условия y(1) = 1 получаем C1 = 1, и решение краевой задачи y = xn.

Краевую задачу с неоднородными условиями на границе всегда можно свести к задаче с однородными краевыми условиями. Пусть задано урав-

jR2j + jS2j =6 0:

Функцию y(x) представим в виде суммы двух функций y(x) = v(x) + + w(x). Выбор функции w(x) зависит от краевых условий. Подставив y в

Получаем уравнение относительно v(x) такой же структуры, как и уравнение (1.1). Подберем функцию w(x) так, чтобы для v краевые условия были однородные:

(

R1(v0(a) + w0(a)) S1(v(a) + w(a)) = t1;

R2(v0(b) + w0(b)) + S2(v(b) + w(b)) = t2:

7

Для того чтобы

(

R1v0(a) S1v(a) = 0; R2v0(b) + S2v(b) = 0;

нужно выполнение равенств

(

R1w0(a) S1w(a) = t1;

R2w0(b) + S2w(b) = t2:

Т. е. функция w(x) должна удовлетворять тем же краевым условиям, что и функция y(x). Пусть S1 6= 0 или S2 6= 0. Зададим w(x) = x + . Для этой функции должны выполняться условия:

Эта система линейных уравнений относительно и имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. Найдем

= S1S2(b a) + R1S2 + R2S1:

Поскольку S1 6= 0 или S2 6= 0, то определитель больше нуля и система имеет единственное решение. Если же S1 = S2 = 0, то краевые условия можно записать в виде

(

y0(a) = t1; y0(b) = t2:

В этом случае зададим w(x) = x2 + x и применим замену y(x) = v(x) + + x2 + x. Значения и находим из системы

(

2 a + = t1;

2 b + = t2:

Решение системы очевидно единственно, поэтому в дальнейшем рассматриваются задачи в основном с однородными краевыми условиями.

1.2. Оператор Штурма–Лиувилля

Пусть на промежутке [a; b] задано множество дважды дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(

8

Обозначим это множество D(L). Очевидно, что D(L) представляет собой линейное пространство. Введем в нем скалярное произведение по формуле

b

Z

(f; g) = f(x)g(x) (x)dx;

a

где (x) – непрерывная на [a; b] функция, (x) 0 > 0, (x) принято называть весовой функцией, или весом. Таким образом, D(L) является подпространством пространства L2[a; b; (x)] (см. [4]). Норма функции в этом случае определяется по правилу

a

Зададим линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства D(L) в линейное пространство непрерывных на [a; b] функций, в виде

L(y) = 1 (p(x)y0)0 + q(x)y;(x)

где p(x), p0(x), q(x) – непрерывные на [a; b] функции, p(x) p0 > 0, (x)

– весовая функция скалярного произведения. Такой оператор будем называть оператором Штурма–Лиувилля.

Утверждение 1.1. Оператор Штурма–Лиувилля симметричен, т. е. 8y; z 2 D(L) справедливо равенство (L(y); z) = (y; L(z)).

Доказательство. Запишем скалярное произведение

b

Первый интеграл проинтегрируем по частям 2 раза:

9