Тема 3: Цилиндр

Цилиндр часто встречается в технике и в быту, например, цилиндры двигателя, трубы, шайбы и тому подобное. Определим, что называется цилиндром в геометрии.

Тело вращения – это геометрическая фигура, которую описывает плоская фигура при вращении ее около оси, лежащей в плоскости фигуры. Так цилиндр является простейшим телом вращения. Его описывает прямоугольник при вращении около своей стороны как оси. Поверхность цилиндра состоит из равных кругов в параллельных плоскостях – оснований цилиндра – и боковой поверхности. Часть цилиндрической поверхности, заключенная между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, – основаниями цилиндра. Все вертикальные отрезки, из которых состоит боковая поверхность цилиндра, называются его образующими. Расстояние между основаниями есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие. Поверхностью прямого цилиндра называется объединение его оснований и боковой поверхности. Поверхность прямого цилиндра иногда называют также его полной поверхностью, подчеркивая этим, что она состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Объем цилиндра:V = П R² H.

Боковая поверхность цилиндра: S = 2 П R H.

Можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Вычислить площадь боковой поверхности стакана, если известно, что диаметр его дна d = 6см, высота h = 10см.

Задача 2. Найти вес 50м железной проволоки толщиной 4мм. Удельный вес железа 7,8 г/см³ .

Задача 3. Консервная банка имеет в диаметре 10см, а в высоту 5см. Сколько жести идет на ее изготовление?

Задача 4. Если изготовить банку той же вместимости, что и в предыдущей задаче, но с диаметром а) 5см; б) 6см, то какую высоту будет иметь банка?

Задача 5. В течении какого времени наполнится на 90% бак цилиндрической формы, если он имеет в окружности 12,56м его высота 4м и если в каждую минуту через трубку вливается 50л воды?

Задача 6. Узнать размеры десятилитровой банки цилиндрической формы, если ее высота равна диаметру основания.

Задача 7. Точильный камень диаметром в 1400мм имеет толщину в 200мм. Вычислить его объем, если в центре его имеется круглое отверстие диаметром 200мм.

Задача 8.На сколько частей можно разделить цилиндр плоскими разрезами, если их: а) 2; б) 3; в) 4?

Задача 9. Сечением цилиндра является прямоугольник. Как расположена его плоскость относительно оси цилиндра?

Задача 10. Основания цилиндрической бочки радиусом 0,6м и высотой 1,6м находится на полу помещения высотой 1,9м. Можно ли выкатить бочку из этого помещения?

Задача 11. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом. Является ли она выпуклой? Можете ли вы найти ее диаметр, если радиусы цилиндров известны?

Тема 4: Конус

Форму конуса имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы и многие другие окружающие нас предметы.

Конус является телом вращения и описывает прямоугольный треугольник при вращении его около катета как оси. Поверхность конуса состоит из круга в основании конуса и боковой поверхности.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра. Высота конуса называется также осью.

Прямым круговым конусом или конусом вращения называется конус, основание которого круг, а высота попадает в центр этого круга.

Фигура, состоящая из образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с точками окружности основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Она сама является конусом с той же вершиной, основанием ее служит окружность основания конуса вращения.

Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности. (Иногда поверхность конуса называют его полной поверхностью.)

Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. Усеченный конус имеет два основания: нижнее – основание исходного конуса и верхнее – основание отсекаемого конуса; оно является сечением исходного конуса плоскостью, параллельной плоскости основания. Следовательно, основания усеченного конуса подобны друг другу.

Площадь боковой поверхности конуса: S = П R l, где l – длина образующей конуса.

Объем конуса: V = 1/3 П R² H.

И после изучения теории приступаем к решению задач.

Задача 1. Почему угол развертки конуса не может равняться 360^о ?

Задача 2. Найти отношение площади боковой поверхности конуса и площади его основания, если образующая конуса равна диаметру ее основания.

Задача 3. Найти емкость конической воронки, высота которой 30см, диаметр отверстия 20см. Ответ дать в метрах.

Задача 4. Найти объем конуса, если известно, что радиус его основания равен 6,2см, высота 16см.

Задача 5. Ведро имеет размеры: длина верхнего обода 95см, длина обода дна 70см, высота ведра 28см. Узнать емкость ведра.

Задача 6. Узнать вместимость ведра, если диаметр его нижнего основания 20см, верхнего 30см, расстояние между основаниями 30см.

Задача 7. Сколько литров воды вмещает бочонок длиной 8дм, если диаметр каждого из его оснований 5дм, диаметр сечения в наиболее широком месте 6дм?

Задача 8. Сколько весит масло, которым наполнена бочка, высота которой 1м, диаметр дна 60см, диаметр сечения в наибольшем месте 70см? Удельный вес масла 0,9г/см³ .

Задача 9.Основание конуса находится на земле. Сможете ли вы установить размеры конуса, не подходя к нему?

Задача 10. Закрепив вершину, данный конус покатили по плоскости. Какая фигура получится от движения его оси? Какой путь проделает центр основания конуса за один оборот конуса?

Задача 11. Абажур от настольной лампы является боковой поверхностью усеченного конуса. Какой фигурой является граница тени от абажура на стене?

Задача 12. В землю воткнута вертикальная палочка. Какую линию описывает на земле тень от ее верхнего конца в течение дня?